Calcule a integral.

∫ sen ⁡ a t d t

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar fazer uma Substituição, pois temos uma raiz, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = a t → u 2 = a t

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

2 u d u =   a d t → d t = 2 u d u a

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ sen ⁡ a t d t = ∫ 2 u sen ⁡ u a d u = 2 a ∫ u sen ⁡ u d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Vamos usar Integração por Partes agora:

∫ f x g ' x d x = f x g x - ∫ g x f ' x   d x

Vamos fazer então f u = u e g ' x = sen ⁡ u d u :

f ' u = d u e g u = - cos ⁡ u

Vamos substituir agora:

∫ u sen ⁡ u d u = - u cos ⁡ u - ∫ - cos ⁡ u   d u = - u cos ⁡ u + ∫ cos ⁡ u   d u

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Então ficamos com:

∫ u sen ⁡ u d u = - u cos ⁡ u + ∫ cos ⁡ u   d u = - u cos ⁡ u + sen ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ u sen ⁡ u d u = - u cos ⁡ u + sen ⁡ u + C = - a t cos ⁡ a t + sen ⁡ a t + C

Agora vamos voltar a expressão original:

∫ sen ⁡ a t d t = 2 a ∫ u sen ⁡ u d u = 2 a - a t cos ⁡ a t + sen ⁡ a t + C

Resposta

∫ sen ⁡ a t d t = 2 a - a t cos ⁡ a t + sen ⁡ a t + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados