Calcule a integral.

∫ π 4 π 2 1 + 4 cotg ⁡ x 4 - cotg ⁡ x d x

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

∫ 1 + 4 cotg ⁡ x 4 - cotg ⁡ x d x

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos simplificar a expressão:

∫ 1 + 4 cotg ⁡ x 4 - cotg ⁡ x d x = ∫ 1 + 4 cos ⁡ x sen ⁡ x 4 - cos ⁡ x sen ⁡ x d x = ∫ 1 + 4 cos ⁡ x sen ⁡ x sen ⁡ x 4 - cos ⁡ x sen ⁡ x sen ⁡ x d x = ∫ sen ⁡ x + 4 cos ⁡ x 4 sen ⁡ x - cos ⁡ x d x

Vamos fazer uma Substituição agora, usando u como o denominador:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = 4 sen ⁡ x - cos ⁡ x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = 4 cos ⁡ x + sen ⁡ x d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ sen ⁡ x + 4 cos ⁡ x 4 sen ⁡ x - cos ⁡ x d x = ∫ d u u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Então ficamos com:

∫ d u u = ln ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = 4 sen ⁡ x - cos ⁡ x :

∫ sen ⁡ x + 4 cos ⁡ x 4 sen ⁡ x - cos ⁡ x d x = ∫ d u u = ln ⁡ u + C = ln ⁡ 4 sen ⁡ x - cos ⁡ x + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ π 4 π 2 1 + 4 cotg ⁡ x 4 - cotg ⁡ x d x = ln ⁡ 4 sen ⁡ x - cos ⁡ x π 4 π 2 = ln ⁡ 4 sen ⁡ π 2 - cos ⁡ π 2 - ln ⁡ 4 sen ⁡ π 4 - cos ⁡ π 4 = ln ⁡ 4 - ln ⁡ 3 2 2

Resposta

∫ π 4 π 2 1 + 4 cotg ⁡ x 4 - cotg ⁡ x d x = ln ⁡ 4 - ln ⁡ 3 2 2

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