Enunciado

Calcule a integral.

int (sec theta tg theta)/(sec^2 theta - sec theta) d theta

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar fazer uma Substituição, podemos tentar fazer com que u seja igual a secante, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = sec theta

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = sec theta tg theta d theta

Fazendo a substituição ficamos com:

int (sec theta tg theta)/(sec^2 theta - sec theta) d theta = int (d u)/(u^2 - u) = int (1)/(u (u - 1)) d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Poxa, não deu em nada, não dá para simplificar nada com o numerador, então vamos usar Frações Parciais:

(1)/(u (u - 1)) = (A)/(u) + (B)/(u - 1)

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores u (u - 1) :

1 = A (u - 1) + B u

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A (u - 1) + B u = A u - A + B u = u (A + B) - A

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B = 0],[- A = 1 -> A = - 1]])

Isolando B na primeira, ficamos com:

B = - A = - (- 1) = 1

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

int (1)/(u (u - 1)) d u = int (- 1)/(u) + (1)/(u - 1) d u = int (- 1)/(u) d u + int (1)/(u - 1) d u

Passo 3

Vamos resolver as duas separadamente, para a primeira é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Vamos agora fazer a substituição:

int (- 1)/(u) d u = - 1 int (1)/(u) d u = - ln |u| + C

Para a segunda vamos fazer uma Substituição:

v = u - 1

Derivando:

d v = d u

Substituindo temos:

int (1)/(u - 1) d u = int (1)/(v) d v

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 4

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (1)/(v) d v = ln |v| + C

Juntando agora:

int (- 1)/(u) d u + int (1)/(u - 1) d u = - ln |u| + ln |v| + C

Passo 5

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = sec theta e v = u - 1 :

int (sec theta tg theta)/(sec^2 theta - sec theta) d theta = int (- 1)/(u) d u + int (1)/(u - 1) d u = - ln |u| + ln |v| + C = - ln |sec theta| + ln |sec theta - 1| + C

Resposta

int (sec theta tg theta)/(sec^2 theta - sec theta) d theta = - ln |sec theta| + ln |sec theta - 1| + C

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