Calcule a integral.

∫ sec ⁡ θ tg ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - sec ⁡ θ d θ

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar fazer uma Substituição, podemos tentar fazer com que u seja igual a secante, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = sec ⁡ θ

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ sec ⁡ θ tg ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - sec ⁡ θ d θ = ∫ d u u 2 - u = ∫ 1 u u - 1 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Poxa, não deu em nada, não dá para simplificar nada com o numerador, então vamos usar Frações Parciais:

1 u u - 1 = A u + B u - 1

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores u u - 1 :

1 = A u - 1 + B u

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

1 = A u - 1 + B u = A u - A + B u = u A + B - A

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 0 - A = 1 → A = - 1

Isolando B na primeira, ficamos com:

B = - A = - - 1 = 1

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 1 u u - 1 d u = ∫ - 1 u + 1 u - 1 d u = ∫ - 1 u d u + ∫ 1 u - 1 d u

Passo 3

Vamos resolver as duas separadamente, para a primeira é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Vamos agora fazer a substituição:

∫ - 1 u d u = - 1 ∫ 1 u d u = - ln ⁡ u + C

Para a segunda vamos fazer uma Substituição:

v = u - 1

Derivando:

d v =   d u

Substituindo temos:

∫ 1 u - 1 d u = ∫ 1 v d v

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 4

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 1 v d v = ln ⁡ v + C

Juntando agora:

∫ - 1 u d u + ∫ 1 u - 1 d u = - ln ⁡ u + ln ⁡ v + C

Passo 5

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = sec ⁡ θ e v = u - 1 :

∫ sec ⁡ θ tg ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - sec ⁡ θ d θ = ∫ - 1 u d u + ∫ 1 u - 1 d u = - ln ⁡ u + ln ⁡ v + C = - ln ⁡ sec ⁡ θ   + ln ⁡ sec ⁡ θ - 1 + C

Resposta

∫ sec ⁡ θ tg ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - sec ⁡ θ d θ = - ln ⁡ sec ⁡ θ   + ln ⁡ sec ⁡ θ - 1 + C

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