Enunciado

Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial F → e superfície orientada S .

F → x , y , z = x i ^ + y j ^ + 5 k ^ ,

S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro x 2 + z 2 = 1 e pelos planos y = 0 e x + y = 2 .

Passo 1

O exercício pede para calcularmos o fluxo de F → sobre a superfície S . O primeiro passo é parametrizar a superfície. Para equação do cilindro, podemos fazer

x = cos ⁡ t             e             z = s e n   t ,               0 ≤ t ≤ 2 π

Já para a coordenada y , temos que

y = y

Note que y está limitado entre 0 e 2 - x , assim

0 ≤ y ≤ 2 - cos ⁡ t

Agora temos que calcular os vetores r → t e r → y :

r → t = ∂ x ∂ t ,   ∂ y ∂ t ,   ∂ z ∂ t = - s e n   t , 0 , cos ⁡ t

r → y = ∂ x ∂ y ,   ∂ y ∂ y ,   ∂ z ∂ y = ( 0 ,   1 ,   0 )

Agora fazemos o produto vetorial de r → t por r → y :

r → t × r → y = i ^ j ^ k ^ - s e n   t 0 cos ⁡ t 0 1 0 = - cos ⁡ t   i ^ - s e n   t   k ^ = ( - cos ⁡ t ,   0 ,   - s e n   t )

Assim,

r → t × r → y = cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Note que nesse caso r → t × r → y aponta para dentro do cilindro. Como nossa convenção determina que ele deve apontar para fora, vamos calcular o vetor normal invertendo o sinal:

n ^ = 1 1 cos ⁡ t ,   0 ,   s e n   t = ( cos ⁡ t ,   0 ,   s e n   t )

Passo 2

Portanto,

F → ⋅ d S → = F → ⋅ n ^   d S = cos ⁡ t ,   y ,   5 ⋅ cos ⁡ t ,   0 ,   s e n   t   d S = cos 2 ⁡ t + 5   s e n   t   d S

Além disso,

d S = r → t × r → y   d A = d A = d y   d t

Portanto,

I = ∫ ∫ S F → ⋅ d S → = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 - cos ⁡ t cos 2 ⁡ t + 5   s e n   t   d y   d t

Fazendo primeiro a integral em y :

I = ∫ 0 2 π 2 - cos ⁡ t cos 2 ⁡ t + 5   s e n   t   d t

Logo,

I = ∫ 0 2 π 2 cos 2 ⁡ t + 10   s e n   t - cos 3 ⁡ t - 5   s e n   t cos ⁡ t   d t

Como a integral é feita sobre um período, só o primeiro termo sobrevive: os demais resultarão em integrais nulas! Assim,

I = 2   ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t   d t = ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 t   d t = t + 1 2 s e n   2 t 0 2 π = 2 π

Resposta

I = 2 π

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