Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 26
Calcule a integral de superfície para o campo vetorial e superfície orientada .
é a fronteira da região delimitada pelo cilindro e pelos planos e .
Passo 1
O exercício pede para calcularmos o fluxo de sobre a superfície . O primeiro passo é parametrizar a superfície. Para equação do cilindro, podemos fazer
Já para a coordenada , temos que
Note que está limitado entre e , assim
Agora temos que calcular os vetores e :
Agora fazemos o produto vetorial de por :
Assim,
Note que nesse caso aponta para dentro do cilindro. Como nossa convenção determina que ele deve apontar para fora, vamos calcular o vetor normal invertendo o sinal:
Passo 2
Portanto,
Além disso,
Portanto,
Fazendo primeiro a integral em :
Logo,
Como a integral é feita sobre um período, só o primeiro termo sobrevive: os demais resultarão em integrais nulas! Assim,