Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.7 - Ex. 46
Use a lei de Gauss para achar a carga dentro de um cubo com vértices se o campo elétrico for
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Aqui temos seis superfícies a considerar. Vamos por partes?
Considerando o plano , o campo elétrico é o vetor normal a ele vai ser: . A região no espaço vai ser de um quadrado de lado :
E o diferencial de área vai ser .
E o produto escalar entre e o vetor normal é:
Pronto! Podemos jogar tudo na integral!
E para ? Considerando o plano , o campo elétrico é o vetor normal a ele vai ser: . A região no espaço vai ser de um quadrado de lado :
E o diferencial de área vai ser .
E o produto escalar entre e o vetor normal é:
Pronto! Podemos jogar tudo na integral!
Beleza! Agora temos de repetir isso para e , mas por simetria podemos imaginar o que vai acontecer, não é? (tudo igual =D) Mas vamos fazer! Saca só!
Passo 2
Considerando o plano , o campo elétrico é o vetor normal a ele vai ser: . A região no espaço vai ser de um quadrado de lado :
E o diferencial de área vai ser .
E o produto escalar entre e o vetor normal é:
Pronto! Podemos jogar tudo na integral!
E para ? Considerando o plano , o campo elétrico é o vetor normal a ele vai ser: . A região no espaço vai ser de um quadrado de lado :
E o diferencial de área vai ser .
E o produto escalar entre e o vetor normal é:
Pronto! Podemos jogar tudo na integral!
Show! Vamos calcular para os planos ?
Passo 3
Considerando o plano , o campo elétrico é o vetor normal a ele vai ser: . A região no espaço vai ser de um quadrado de lado :
E o diferencial de área vai ser .
E o produto escalar entre e o vetor normal é:
Pronto! Podemos jogar tudo na integral!
E para ? Considerando o plano , o campo elétrico é o vetor normal a ele vai ser: . A região no espaço vai ser de um quadrado de lado :
E o diferencial de área vai ser .
E o produto escalar entre e o vetor normal é:
Pronto! Podemos jogar tudo na integral!
Passo 4
Agora juntando os resultados temos:
E é essa a carga dentro desse cubo!
Vamos pra próxima?