Enunciado

Use a lei de Gauss para achar a carga dentro de um cubo com vértices ( ± 1 ,   ± 1 , ± 1 ) se o campo elétrico for

E → x , y , z = x i → + y j → + z k →

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Aqui temos seis superfícies a considerar. Vamos por partes?

Considerando o plano x = 1 , o campo elétrico é E → 1 , y , z = i → + y j → + z k → o vetor normal a ele vai ser: i → . A região no espaço vai ser de um quadrado de lado 2 :

- 1 ≤ y ≤ 1 - 1 ≤ z ≤ 1

E o diferencial de área vai ser d A = d y d z .

E o produto escalar entre E → e o vetor normal i → é: E → ⋅ i → = 1

Pronto! Podemos jogar tudo na integral!

q = ϵ 0 ∬ S 1 E → ⋅ ( i → ) d A = ϵ 0 ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 d y d z = 4 ϵ 0

E para x = - 1 ? Considerando o plano x = - 1 , o campo elétrico é E → - 1 , y , z = - i → + y j → + z k → o vetor normal a ele vai ser: - i → . A região no espaço vai ser de um quadrado de lado 2 :

- 1 ≤ y ≤ 1 - 1 ≤ z ≤ 1

E o diferencial de área vai ser d A = d y d z .

E o produto escalar entre E → e o vetor normal i → é: E → ⋅ i → = - 1 . - 1 = 1

Pronto! Podemos jogar tudo na integral!

q = ϵ 0 ∬ S 2 E → ⋅ ( i → ) d A = ϵ 0 ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 d y d z = 4 ϵ 0

Beleza! Agora temos de repetir isso para y e z , mas por simetria podemos imaginar o que vai acontecer, não é? (tudo igual =D) Mas vamos fazer! Saca só!

Passo 2

Considerando o plano y = 1 , o campo elétrico é E → x , 1 , z = x i → + j → + z k → o vetor normal a ele vai ser: j . A região no espaço vai ser de um quadrado de lado 2 :

- 1 ≤ x ≤ 1 - 1 ≤ z ≤ 1

E o diferencial de área vai ser d A = d x d z .

E o produto escalar entre E → e o vetor normal i → é: E → ⋅ j → = 1

Pronto! Podemos jogar tudo na integral!

q = ϵ 0 ∬ S 3 E → ⋅ ( j ) d A = ϵ 0 ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 d x d z = 4 ϵ 0

E para y = - 1 ? Considerando o plano y = - 1 , o campo elétrico é E → x , - 1 , z = x i → - 1 j → + z k → o vetor normal a ele vai ser: - j → . A região no espaço vai ser de um quadrado de lado 2 :

- 1 ≤ x ≤ 1 - 1 ≤ z ≤ 1

E o diferencial de área vai ser d A = d x d z .

E o produto escalar entre E → e o vetor normal - j → é: E → ⋅ i → = - 1 . - 1 = 1

Pronto! Podemos jogar tudo na integral!

q = ϵ 0 ∬ S 4 E → ⋅ ( j → ) d A = ϵ 0 ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 d x d z = 4 ϵ 0

Show! Vamos calcular para os planos z = ± 1 ?

Passo 3

Considerando o plano z = 1 , o campo elétrico é E → x , y , 1 = x i → + y j → + k → o vetor normal a ele vai ser: k → . A região no espaço vai ser de um quadrado de lado 2 :

- 1 ≤ y ≤ 1 - 1 ≤ x ≤ 1

E o diferencial de área vai ser d A = d y d x .

E o produto escalar entre E → e o vetor normal i → é: E → ⋅ k → = 1

Pronto! Podemos jogar tudo na integral!

q = ϵ 0 ∬ S 5 E → ⋅ ( k → ) d A = ϵ 0 ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 d y d x = 4 ϵ 0

E para z = - 1 ? Considerando o plano z = - 1 , o campo elétrico é E → x , y , - 1 = x i → + y j → - 1 k → o vetor normal a ele vai ser: - k → . A região no espaço vai ser de um quadrado de lado 2 :

- 1 ≤ y ≤ 1 - 1 ≤ x ≤ 1

E o diferencial de área vai ser d A = d y d x .

E o produto escalar entre E → e o vetor normal i → é: E → ⋅ k → = - 1 . - 1 = 1

Pronto! Podemos jogar tudo na integral!

q = ϵ 0 ∬ S 6 E → ⋅ ( k → ) d A = ϵ 0 ∫ - 1 1 ∫ - 1 1 d y d x = 4 ϵ 0

Passo 4

Agora juntando os resultados temos:

q = 6.4 ϵ 0 = 24 ϵ 0

E é essa a carga dentro desse cubo!

Vamos pra próxima?

Resposta

q = 24 ϵ 0

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