Enunciado

Use a lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfério sólido x 2 + y ² + z ² ≤ a 2 ,   z ≥ 0 , se o campo elétrico for

E → x , y , z = x i → + y j → + 2 z k →

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra calcular a carga q vamos relembrar como é a fórmula:

q = ϵ 0 ∬ S E → ⋅ d S →

Então, aqui temos duas regiões a considerar: a carga contida no hemisfério z = a 2 - x 2 - y 2 e limitada pelo x 2 + y 2 ≤ a 2 . Vamos por partes? Primeiro olhando o hemisfério: precisamos primeiro parametrizar a região e usar essas novas variáveis nas outras quantidades. Uma parametrização possível é

x = a s e n ϕ c o s θ y = a s e n ϕ s e n θ z = a c o s ϕ

Sendo assim, o vetor r → é:

r → = a s e n ϕ c o s θ i → + a s e n ϕ s e n θ j → + a c o s ϕ k →

E as derivadas parciais r → ϕ e r → θ são:

r → ϕ = a c o s ϕ c o s θ i → + a c o s ϕ c o s θ j → - a s e n ϕ k →

r → θ = - a s e n ϕ s e n θ i → + a s e n ϕ c o s θ j →

E o produto vetorial entre eles é:

r → ϕ × r → θ = i → j → k → a c o s ϕ c o s θ a c o s ϕ s e n θ - a s e n ϕ - a s e n ϕ s e n θ a s e n ϕ c o s θ 0 = a 2 s e n 2 ϕ c o s θ i → + a 2 s e n 2 ϕ s e n θ j → + ( a 2 s e n ϕ c o s ϕ ) k →

E o vetor campo elétrico em termos dessas coordenadas é:

E → = a s e n ϕ c o s θ i → + a s e n ϕ s e n θ j → + 2 a c o s ϕ k →

Vamos agora fazer o produto escalar entre E → e r → ϕ × r → θ :

E → ⋅ r → ϕ × r → θ = a s e n ϕ c o s θ i → + a s e n ϕ s e n θ j → + 2 a c o s ϕ k → ⋅ a 2 s e n 2 ϕ c o s θ i → + a 2 s e n 2 ϕ s e n θ j → + ( a 2 s e n ϕ c o s ϕ ) k → = a 3 s e n 3 ϕ + a 3 s e n ϕ cos 2 ⁡ ϕ

Beleza! Agora que já temos r → ϕ × r → θ ,   E → ( ϕ , θ ) e seu produto escalar, precisamos determinar d A e jogar na integral! O diferencial de área vai ser d A = d ϕ d θ entre os limites:

0 ≤ ϕ ≤ π 2   ( é   m e t a d e   d a   e s f e r a ! ) 0 ≤ θ ≤ 2 π

Pronto! Agora vamos colocar tudo na integral:

q = ϵ 0 ∬ h e m i s f é r i o E → ⋅ ( r → ϕ × r → θ ) d A

q = ϵ 0 ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ( a 3 s e n 3 ϕ + a 3 s e n ϕ cos 2 ⁡ ϕ ) d ϕ d θ = ϵ 0 . 2 π a 3 1 + 1 3 = 8 π a 3 3

Passo 2

Vamos ver agora para a região do plano x y , com x 2 + y 2 ≤ a 2 . O vetor normal à região é – k → .

O campo elétrico em z = 0 é:

E → x , y , z = 0 = x i → + y j → + 2 z k → = x i → + y j →

Então o produto escalar entre E → e k → é:

E → ⋅ - k → = a s e n ϕ c o s θ i → + a s e n ϕ s e n θ j → + 0 k → ⋅ 0,0 , - 1 = 0

Então o integrando de ϵ 0 ∬ d i s c o E → ⋅ ( r → x × r → y ) d A é zero, portando a carga aqui é zero.

Passo 3

Resgatando a integral do passo 1 e 2 temos:

q = 8 π a 3 3 + 0 = 8 π a 3 3

Então a carga contida é 8 π a 3 3   C

Certo?

Vamos pra próxima?

Resposta

q = 8 π a 3 3

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