Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 45
Use a lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfério sólido , se o campo elétrico for
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Pra calcular a carga vamos relembrar como é a fórmula:
Então, aqui temos duas regiões a considerar: a carga contida no hemisfério e limitada pelo . Vamos por partes? Primeiro olhando o hemisfério: precisamos primeiro parametrizar a região e usar essas novas variáveis nas outras quantidades. Uma parametrização possível é
Sendo assim, o vetor é:
E as derivadas parciais e são:
E o produto vetorial entre eles é:
E o vetor campo elétrico em termos dessas coordenadas é:
Vamos agora fazer o produto escalar entre e :
Beleza! Agora que já temos e seu produto escalar, precisamos determinar e jogar na integral! O diferencial de área vai ser entre os limites:
Pronto! Agora vamos colocar tudo na integral:
Passo 2
Vamos ver agora para a região do plano , com . O vetor normal à região é .
O campo elétrico em é:
Então o produto escalar entre e é:
Então o integrando de é zero, portando a carga aqui é zero.
Passo 3
Resgatando a integral do passo e temos:
Então a carga contida é
Certo?
Vamos pra próxima?