Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∬ y d S

S é o helicoide com o vetor paramétrico r u , v = u cos ⁡ v ,   u sen ⁡ v ,   v ,   0 ≤ u ≤ 1 ,   0 ≤ v ≤ π .

Passo 1

Galera, para calcularmos essa integral de superfície, precisamos trabalhar inicialmente com as equações paramétricas. Sabemos que

f x , y , z = y

E queremos escrever a seguinte integral

∬ f x , y , z d S = ∬ f r u , v r u × r v d A

O vetor paramétrico é igual a

r u , v = u cos ⁡ v i + u sen ⁡ v j + v k

Precisamos achar as derivadas parciais de r ( u , v ) . Assim,

r u = cos ⁡ v i + sen ⁡ v j + 0 k

r v = - u sen ⁡ v i + u cos ⁡ v j + 1 k

Calculando o módulo do produto vetorial das derivadas parciais, temos:

r u × r v = i j k cos ⁡ v sen ⁡ v 0 - u sen ⁡ v u cos ⁡ v 1 = sen ⁡ v - 0 i + 0 - cos ⁡ v j + u cos 2 ⁡ v + u sen 2 ⁡ v k

r u , v = sen ⁡ v i - cos ⁡ v j + u k

O módulo é igual a:

r u × r v = sen ⁡ v 2 + - cos ⁡ v 2 + u 2 = 1 + u 2

Passo 2

Vamos agora substituir esses valores encontrados na integral!

∬ f x , y , z d S = ∫ 0 1 ∫ 0 π u s e n ⁡ v 1 + u 2 d v d u

∬ f x , y , z d S = ∫ 0 1 u 1 + u 2 d u ∫ 0 π sen ⁡ v   d v

∬ f x , y , z d S = ∫ 0 1 u 1 + u 2 d u - cos ⁡ v 0 π

Estamos quase lá!

∬ f x , y , z d S = ∫ 0 1 u 1 + u 2 d u [ 1 + 1 ]

∬ f x , y , z d S = 2 1 3 u 2 + 1 3 2 0 1

∬ f x , y , z d S = 2 3 1 + 1 3 2 - 0 + 1

∬ f x , y , z d S = 2 3 2 2 - 1

Resposta

A integral é igual a

∬ f x , y , z d s = 2 3 2 2 - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a área da superfície.A superfície com equações paramétricas x = u 2 , y = u v , z = 1 2 v 2 , 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ 2
Determine a área da superfície.O helicoide (ou rampa espiral) com equação vetorial r u , v = u cos ⁡ vi + u sen ⁡ v j + vk ,0 ≤ u ≤ 1 ,0 ≤ v ≤ π
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Se a equação de uma superfície S é z = f x , y , onde x 2 + y 2 ≤ R 2 e você sabe que f x ≤ 1 e f y ≤ 1 o que você pode dizer sobre A(S)?