Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∬ x y z d S

S é o cone com as equações paramétricas x = u cos ⁡ v ,   y = u sen ⁡ v ,   z = u ,   0 ≤ u ≤ 1 ,   0 ≤ v ≤ π 2 .

Passo 1

Galera, para calcularmos essa integral de superfície, precisamos trabalhar inicialmente com as equações paramétricas. Sabemos que

f x , y , z = x y z

E queremos escrever a seguinte integral

∬ f x , y , z d S = ∬ f r u , v r u × r v d A

Encontrando a função parametrizada, temos:

r u , v = u cos ⁡ v i + u sen ⁡ v j + u k

Precisamos achar as derivadas parciais de r ( u , v ) . Assim,

r u = cos ⁡ v i + sen ⁡ v j + k

r v = - u sen ⁡ v i + u cos ⁡ v j

Calculando o módulo do produto vetorial das derivadas parciais, temos:

r u × r v = i j k cos ⁡ v sen ⁡ v 1 - u sen ⁡ v u cos ⁡ v 0 = 0 - u cos ⁡ v i + - u sen ⁡ v - 0 j + u cos 2 ⁡ v + u sen 2 ⁡ v k

r u , v = - u cos ⁡ v i - u sen ⁡ v j + u k

O módulo é igual a:

r u × r v = - u cos ⁡ v 2 + - u sen ⁡ v 2 + u 2 = u 2

Passo 2

Vamos agora substituir esses valores encontrados na integral!

∬ f x , y , z d S = ∫ 0 1 ∫ 0 π 2 u 3 s e n ⁡ v cos ⁡ v u 2 d v d u

∬ f x , y , z d S = 2 ∫ 0 1 u 4 sen 2 ⁡ v 2 0 π 2 d u

∬ f x , y , z d S = 2 ∫ 0 1 u 4 1 2 d u

Estamos quase lá!

∬ f x , y , z d S = 2 2 u 5 5 0 1

∬ f x , y , z d S = 2 2 1 5 = 2 10

Resposta

A integral é igual a

∬ f x , y , z d s = 2 10

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