Enunciado

Uma região R é mostrada. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares, e escreva ∬ R f x , y d A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .

Passo 1

Bom, pessoal, aqui não temos a necessidade de utilizarmos coordenadas polares. Portanto, escrevendo a integral utilizando coordenadas retangulares. Podemos ver pelo desenho que o valor de x varia de - 1 a 1 . Já o valor de y varia da reta y = - x até a reta y = 1 . Logo,

∬ R f ( x , y ) d A = ∫ - 1 1 ∫ - x 1 f x , y   d y   d x

Alternativamente, podemos escrever

∬ R f ( x , y ) d A = ∫ - 1 1 ∫ - y 1 f x , y   d x   d y

Resposta

A integral dupla pode ser escrita de duas maneiras:

∬ R f ( x , y ) d A = ∫ - 1 1 ∫ - x 1 f x , y   d y   d x

∬ R f ( x , y ) d A = ∫ - 1 1 ∫ - y 1 f x , y   d x   d y

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Esboce a região cuja área é dada pela integral e calcule-a ∫ π / 2 π∫ 0 2 sen ⁡ θ r d r d θ
A região limitada por ambos cardioides r = 1 + cos ⁡ θ e r = 1 - cos ⁡ θ
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R y 2 x 2 + y 2 d A Onde R é a região que fica entre os círculos x 2 + y 2 = a 2 e x 2 + y 2 = b 2 com 0ab .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R 2 x - y d A Onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 4 e as retas x = 0 e y = x .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ D cos ⁡ x 2 + y 2 d A Onde D é o disco com centro na origem e raio 2.