Enunciado

Se a equação de uma superfície S é z = f x , y ,   onde x 2 + y 2 ≤ R 2 e você sabe que f x ≤ 1 e f y ≤ 1   o que você pode dizer sobre A(S)?

Passo 1

Para o caso de uma função ser do tipo z = f ( x , y ) a área de superfície fica.

A = ∬ 1 + f x 2 + f y 2 d A

Onde 0 ≤ f x 2 ≤ 1 e 0 ≤ f y 2 ≤ 1

Assim nós teremos

1 ≤ 1 + f x 2 + f y 2 ≤ 3 por consequência 1 ≤ 1 + f x 2 + f y 2 ≤ 3

Integrando essa desigualdade nós ficaremos com

∬ 1 d A ≤ ∬ 1 + f x 2 + f y 2 d A ≤ ∬ 3 d A

A D ≤ A s ≤ 3 A ( D )

Onde A(D) é a área delimitada pelo cilindro x 2 + y 2 ≤ R 2 .

Portanto a área A(S) será limitada por:

π R 2 ≤ A S ≤ 3 π R 2

Resposta

A(S) será limitada por, π R 2 ≤ A S ≤ 3 π R 2

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