Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∬ x + y + z d S ,   S é o paralelogramo com equações paramétricas x = u + v , y = u - v , z = 1 + 2 u , 0 ≤ u ≤ 2,0 ≤ v ≤ 1 .

Passo 1

Do enunciado nós temos r u , v = u + v i ⃑ + u - v j ⃑ + 1 + 2 u + v k ⃑ e 0 ≤ u ≤ 2,0 ≤ v ≤ 1

Escrever r assim é importante para calcularmos r u   e   r v

Passo 2

r v = ∂ x ∂ v i ⃑ + ∂ y ∂ v j ⃑ + ∂ z ∂ v k ⃑ = ∂ ( u + v ) ∂ v i ⃑ + ∂ ( u - v ) ∂ v j ⃑ + ∂ ( 1 + 2 u + v ) ∂ v k ⃑ = i ⃑ - j ⃑ + k ⃑

r u = ∂ ( u + v ) ∂ u i ⃑ + ∂ ( u - v ) ∂ u j ⃑ + ∂ ( 1 + 2 u + v ) ∂ u k ⃑ = i ⃑ + j ⃑ + 2 k ⃑

r u × r v = i ⃑ + j ⃑ + 2 k ⃑ × i ⃑ - j ⃑ + k ⃑ = 3 i ⃑ + j ⃑ - 2 k ⃑

r u × r v = 3 i ⃑ + j ⃑ - 2 k ⃑ = 14

Passo 3

Agora temos todas as informações necessárias para o cálculo da integral de superfície.

∬ x + y + z d S = substituindo as equações paramétricas

∬ 4 u + v + 1 r u × r v d S = ∬ 4 u + v + 1 14 d S = 14 ∫ 0 1 ∫ 0 2 4 u + v + 1 d u d v

14 ∫ 0 1 ( 2 u 2 + u v + u ) u = 0 u = 2 d v = 14 ∫ 0 1 2 v + 10 d v = 14 ( v 2 + 10 v ) 0 1 = 11 14

Resposta

∬ x + y + z d S = 11 14

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