Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S ( x 2 y + z 2 ) d S ,

S é a parte do cilindro x 2 + y 2 = 9 entre os planos z = 0 e z = 2 .

Passo 1

O exercício pede para calcularmos a integral de superfície. O primeiro passo é parametrizar a superfície. Para a parte do cilindro

x = 3 cos ⁡ t ,     y = 3   s e n   t

t varia de 0 a 2 π . Já para z :

z = z ,             0 ≤ z ≤ 2

Nesse caso,

x 2 y + z 2 = 27 cos 2 ⁡ t   s e n   t + z 2

Passo 2

Os vetores r → t e r → z serão

r → t = ∂ x ∂ t ,   ∂ y ∂ t ,   ∂ z ∂ t = - 3   s e n   t ,   3 cos ⁡ t ,   0

r → z = ∂ x ∂ z ,   ∂ y ∂ z ,   ∂ z ∂ z = 0 ,   0 ,   1

Assim,

r → t × r → z = i ^ j ^ k ^ - 3   s e n   t   3 cos ⁡ t 0 0 0 1

Logo,

r → t × r → z = 3 cos ⁡ t ,   3   s e n   t ,   0

Portanto,

r → t × r → z = 9 cos 2 ⁡ t + 9   s e n 2 t = 3

Logo,

d S = r → t × r → z   d A = 3   d A = 3   d t   d z

Passo 3

Desta forma, podemos escrever a integral como

I = ∫ ∫ S ( x 2 y + z 2 ) d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 3   27 cos 2 ⁡ t   s e n   t + z 2   d z   d t

Fazendo primeiro a integral em z :

I = ∫ 0 2 π 81 cos 2 ⁡ t   s e n   t   z + z 3 0 2   d t = ∫ 0 2 π 8 + 162 cos 2 ⁡ t   s e n   t   d t

Assim,

I = 16 π + 162 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t   s e n   t   d t

Para calcular a segunda integral, fazemos u = cos ⁡ t , de modo que

d u = - s e n   t   d t

Logo,

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t   s e n   t   d t = - ∫ 0 0 u 2   d u = 0

Portanto,

I = 16 π + 162 ⋅ 0 = 16 π

Resposta

I = 16 π

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