Enunciado

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   y z   d S

S é a superfície com equações paramétricas x = u 2   ,     y = u   s e n   v   ,     z = u cos ⁡ v   ,     0 ≤ u ≤ 1   ,     0 ≤ v ≤ π 2

Passo 1

Pessoal, pelo enunciado da questão, podemos escrever o seguinte:

r u ,   v = u 2   i + u   s e n   v   j + u cos ⁡ v k

Então,

r u × r v = 2 u   i + s e n   v   j + cos ⁡ v k × 0   i + u cos ⁡ v j - u   s e n   v   k = - u   i + 2 u 2   s e n   v   j + 2 u 2 cos ⁡ v k

r u × r v = u 2 + 4 u 4   s e n 2   v + 4 u 4 cos 2 ⁡ v = u 1 + 4 u 2

Assim, podemos escrever a integral:

∫ ∫ S   y z   d S = ∫ ∫ D   u   s e n   v u cos ⁡ v | r u × r v |   d A = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 u 2   s e n   v cos ⁡ v u 1 + 4 u 2   d u   d v

Passo 2

Show! Agora vamos começar a resolver a integral:

∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 u 3   s e n   v cos ⁡ v 1 + 4 u 2   d u   d v = ∫ 0 π / 2 s e n   v cos ⁡ v d v ∫ 0 1 u 3 1 + 4 u 2 d u = s e n 2   v 2 0 π / 2 ∫ 0 1 u 3 1 + 4 u 2 d u = 1 2 ∫ 0 1 u 3 1 + 4 u 2 d u  

Passo 3

Para resolver a outra integral, precisamos fazer uma substituição de variáveis:

t = 1 + 4 u 2   ,       u 2 = 1 4 t - 1   ,       1 8 d t = u   d u

1 2 ∫ 0 1 u 3 1 + 4 u 2 d u = 1 2 ∫ 1 5 1 8   . 1 4 t - 1 t d t = 1 64 ∫ 1 5 ( t 3 2 - t 1 2 ) d t = 1 64 t 5 2 5 2 - t 3 2 3 2 1 5 = 1 32 5 5 - 5 5 3 - 1 5 + 1 3 = 5 5 48 + 1 240

Resposta

5 5 48 + 1 240

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