Enunciado

Calcular

∫ ∫ S x 2 + y 2   d S  

Onde S é a superfície lateral do cone x 2 4 + y 2 4 - z 2 9 = 0 , 0 ≤ z ≤ 16

Passo 1

Podemos resolver esse exercício resolvendo a integral da seguinte maneia

∫ ∫ S f   d S =   ∫ ∫ R f   x , y ,   z ( x , y )   1 + ∂ z ∂ y 2 + ∂ z ∂ x 2 d y d x

OU seja projetando a região no plano XY e parametrizando Z em função de X e Y

Primeiro vamos visualizar a região que vamos projetar

Vamos ter esse circulo de raio 32/3 . Nossa parametrização para z fica

z   = 3 2 x 2 + y ²

Passo 2

Vamos calcular as parciais de z

z x = 3 2 2 x 2 x 2 + y 2 → 3 2 x x 2 + y 2  

O mesmo raciocínio vale para y

z y = 3 2 y x 2 + y 2

Passo 3

Vamos agora montar nossa integral

∫ ∫ √ x 2 + y 2   1 + 3 2 x x 2 + y 2 2 + 3 2 y x 2 + y 2 2 d y d x

=   ∫ ∫ √ x 2 + y 2   1 + 9 4 x ² x 2 + y 2 + 9 4 y ² x 2 + y 2 d y d x

=   ∫ ∫ √ x 2 + y 2   4 ( x 2 + y 2 ) 4 ( x 2 + y 2 ) + 9 4 x ² x 2 + y 2 + 9 4 y ² x 2 + y 2 d y d x

=   ∫ ∫ √ x 2 + y 2   4 x 2 + 4 y 2 + 9 x 2 + 9 y 2 4 ( x 2 + y 2 ) d y d x

Vamos unir as raízes

= ∫ ∫ x 2 + y 2   ( x 2 + y 2 )   4 x 2 + 4 y 2 + 9 x 2 + 9 y 2 4 d y d x

= ∫ ∫   13 x 2 + 13 y 2 4 d y d x

= 13 4 ∫ ∫ x 2 + y 2 d y d x

Agora chegamos a um impasse. Integrar uma região circular em coord. Cartesianas é pedir para morrer bem lentamente. Seria mais interessante ( e muito mais rápido nós fazermos a passagem para polar – Lembrando que temos que multiplicar pelo jacobiano nessa conversão 😉 ). Para convertermos usamos a equação

x 2 + y 2 = r ²

Assim nossa integral fica

= 13 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 32 3 r 2 r d r d θ

= 13 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 32 3 r 2 d r d θ

Os limites de integração em polar são muito mais fáceis de enxergar. O raio cresce de 0 a 32/3 e o ângulo varia em 2 π .     Percebeu como agora essa integral ficou mamão com açúcar!

13 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 32 3 r 2 d r d θ

= 2 π   13 4   r 3 3 0 32 3  

= 2 π   13 4 * 1 3 32 3 3

Ficou um número bem estranho mas conseguimos resolver com razoável grau de facilidade (Se compararmos com a conta que teríamos em cartesianas ) rsrs. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S x 2 + y 2   d S = 13 4 π   2 16 3 4      

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