Enunciado

Calcular

int int_S^() sqrt((x^2 + y^2)) d S

Onde S é a superfície lateral do cone (x^2)/(4) + (y^2)/(4) - (z^2)/(9) = 0 , 0 <= z <= 16

Passo 1

Podemos resolver esse exercício resolvendo a integral da seguinte maneia

int int_S^() f d S = int int_R^() f (x , y , z ( x , y )) sqrt(1 + ((del z)/(del y))^2 + ((del z)/(del x))^2) d y d x

OU seja projetando a região no plano XY e parametrizando Z em função de X e Y

Primeiro vamos visualizar a região que vamos projetar

Vamos ter esse circulo de raio 32/3 . Nossa parametrização para z fica

z = (3)/(2) sqrt(x^2 + y ²)

Passo 2

Vamos calcular as parciais de z

z_x = (3)/(2) (2 x)/(2 sqrt(x^2 + y^2)) -> (3)/(2) (x)/(sqrt(x^2 + y^2))

O mesmo raciocínio vale para y

z_y = (3)/(2) (y)/(sqrt(x^2 + y^2))

Passo 3

Vamos agora montar nossa integral

int_()^() int_()^() √ (x^2 + y^2) sqrt(1 + ((3)/(2) (x)/(sqrt(x^2 + y^2)))^2 + ((3)/(2) (y)/(sqrt(x^2 + y^2)))^2) d y d x

= int_()^() int_()^() √ (x^2 + y^2) sqrt(1 + (9)/(4) (x ²)/(x^2 + y^2) + (9)/(4) (y ²)/(x^2 + y^2)) d y d x

= int_()^() int_()^() √ (x^2 + y^2) sqrt((4 ( x^2 + y^2 ))/(4 ( x^2 + y^2 )) + (9)/(4) (x ²)/(x^2 + y^2) + (9)/(4) (y ²)/(x^2 + y^2)) d y d x

= int_()^() int_()^() √ (x^2 + y^2) sqrt((4 x^2 + 4 y^2 + 9 x^2 + 9 y^2)/(4 ( x^2 + y^2 ))) d y d x

Vamos unir as raízes

= int_()^() int_()^() sqrt(((x^2 + y^2))/(( x^2 + y^2 )) (4 x^2 + 4 y^2 + 9 x^2 + 9 y^2)/(4)) d y d x

= int_()^() int_()^() sqrt((13 x^2 + 13 y^2)/(4)) d y d x

= sqrt((13)/(4)) int_()^() int_()^() sqrt(x^2 + y^2) d y d x

Agora chegamos a um impasse. Integrar uma região circular em coord. Cartesianas é pedir para morrer bem lentamente. Seria mais interessante ( e muito mais rápido nós fazermos a passagem para polar – Lembrando que temos que multiplicar pelo jacobiano nessa conversão 😉 ). Para convertermos usamos a equação

x^2 + y^2 = r ²

Assim nossa integral fica

= sqrt((13)/(4)) int_0^(2 pi) int_0^((32)/(3)) sqrt(r^2) r d r d theta

= sqrt((13)/(4)) int_0^(2 pi) int_0^((32)/(3)) r^2 d r d theta

Os limites de integração em polar são muito mais fáceis de enxergar. O raio cresce de 0 a 32/3 e o ângulo varia em 2 pi . Percebeu como agora essa integral ficou mamão com açúcar!

sqrt((13)/(4)) int_0^(2 pi) int_0^((32)/(3)) r^2 d r d theta

= 2 pi sqrt((13)/(4)) ([(r^3)/(3)]|_0^((32)/(3))

= 2 pi sqrt((13)/(4)) * (1)/(3) ((32)/(3))^3

Ficou um número bem estranho mas conseguimos resolver com razoável grau de facilidade (Se compararmos com a conta que teríamos em cartesianas ) rsrs. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

int int_S^() sqrt((x^2 + y^2)) d S = (sqrt((13)/(4)) pi 2^(16))/(3^4)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície. ∫ ∫ Sy zd S S é a superfície com equações paramétricas x = u 2, y = us e nv, z = u cos ⁡ v, 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ π 2
Calcule a integral de superfície.int int_S^() z d S S é a superfície x = y + 2 z^2 , 0 = y = 1 , 0 = z = 1
Calcule a integral de superfície. ∫ ∫ S( z + x 2 y )d S S é a parte do cilindro y 2 + z 2 = 1 que está entre os planos x = 0 e x = 3 no primeiro octante
(a) Determine a representação paramétrica do toro obtido girando em torno do eixo z o círculo do plano x z com centro em b ,0 ,0 e raio ab . [Sugestão: tome como parâmetros os ângulos θ e α mostrados
Determine a área da superfície de equação vetorial r u ,v = cos 3 ⁡ u cos 3 ⁡ v,s e n 3u cos 3 ⁡ v,s e n 3v,0 ≤ u ≤ π,0 ≤ v ≤ 2 π Dê sua resposta com precisão de quatro casas decimais.