Calcule a integral.

∫ x 2 + 2 x c o s   x   d x    

Passo 1

Opa! Nesse exercício iremos resolver a seguinte integral:

∫ x 2 + 2 x cos ⁡ x   d x    

Não é uma integral tão banal de resolver, então vamos precisar usar um método de integração! Pra a gente usar substituição simples teríamos que ter selecionar um u e a derivada do u , d u também deve ser encontrada na expressão!

Isso não acontece aqui, então vamos seguir com integração por partes!

Dica: Sempre tente resolver a integral pelo método mais simples!

Para integrar por partes temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Na nossa integral a gente tem uma parte algébrica e uma trigonométrica. Pela ordem de prioridade teremos:

u = x 2 + 2 x  

Derivamos pra achar d u :

d u d x = 2 x + 2 → d u = 2 x + 2   d x  

E o que sobrou é d v :

d v = cos ⁡ x d x

Integramos pra achar v :

∫ d v = ∫ cos ⁡ x   d x

v = sin ⁡ x

Agora a gente pode montar a integral:

∫ x 2 + 2 x cos ⁡ x   d x    

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ x 2 + 2 x cos ⁡ x   d x   = x 2 + 2 x   sin ⁡ x - ∫ sin ⁡ x   2 x + 2   d x  

Show! Agora vamos lá! 😉

Passo 2

Agora a gente resolve a integral né?!

∫ sin ⁡ x   2 x + 2   d x

Poxaa, e teremos que aplicar a integração por partes novamente. Assim:

U = 2 x + 2       e       d V = sin ⁡ x   d x

Derivando U e integrando d V , temos:

U = 2 x + 2 ⇒ d U = 2

d V =   s e n   x ⇒ V = ∫ sin ⁡ x   d x     = - cos ⁡ x  

Então, podemos escrever que:

∫ sin ⁡ x   2 x + 2   d x = ( 2 x + 2 ) ( - cos ⁡ x ) - ∫ 2 - cos ⁡ x d x

= 2 x + 2 - c o s   x + 2   s e n   x + C  

Passo 3

Agora sim, temos a integral:

- ∫ 2 cos ⁡ x d x

Essa a gente consegue resolver:

- ∫ 2 cos ⁡ x d x = - 2 sin ⁡ x + C

Passo 4

Então temos que:

∫ sin ⁡ x   2 x + 2   d x = 2 x + 2 - cos ⁡ x + 2 sin ⁡ x + C

Retomando a integral inicial e aplicando os resultados encontrados, temos:

∫ x 2 + 2 x cos ⁡ x   d x   = x 2 + 2 x   sin ⁡ x - 2 x + 2 - cos ⁡ x + 2 sin ⁡ x + C  

= x 2 + 2 x   sin ⁡ x + 2 x + 2 cos ⁡ x - 2 sin ⁡ x + C

= x 2 + 2 x - 2 sin ⁡ x + 2 x + 2 cos ⁡ x + C

Prontinho!

Resposta

∫ x 2 + 2 x cos ⁡ x   d x   = x 2 + 2 x - 2 sin ⁡ x + 2 x + 2 cos ⁡ x + C

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