Calcule a integral.

∫ z 3 e z   d z

Passo 1

Opa! Temos que calcular a seguinte integral:

∫ z 3 e z   d z

Para este caso vamos aplicar a técnica de integração por partes. Para isso precisamos dividir o argumento da integral em duas funções f ( z ) e g ( z ) respectivamente. Feito isso, aplicamos a fórmula para a integração por partes que é dada por :

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Ou de forma mais visível, fazemos:

∫ f z g ' z = f z g z - ∫ f ' z g ( z )

Primeiro então, devemos definir quem vão ser nossas funções. É aconselhável escolher a função mais fácil de derivar para ser f ( z ) . Assim:

f z = z 3         e           g ' z = e z

Derivando f e integrando g ' , temos:

f z = z 3 ⇒ f ' z = 3 z 2

g ' z = e z ⇒ g z = ∫ e z d z ⇒ a p l i c a m o s   a   s u b s t i t u i ç ã o   u = z ⇒ d u = e z d z

⇒ ∫ e u   d u = e u = e z

Passo 2

Aplicando as funções e suas derivadas na fórmula citada no passo anterior, temos:

∫ z 3 e z d z = z 3 e z   - ∫ 3 z 2   e z d z

Passo 3

Observe que teremos que aplicar a integração por partes novamente. Assim:

f 1 z = 3 z 2       e       g 1 ' z =   e z

Derivando f e integrando g ' , temos:

f 1 z = 3 z 2 ⇒ f 1 ' z = 6 z

g 1 ' z =   e z ⇒ g z = ∫ e z   d z   ⇒   C o m o   c a l c u l a d o   n o   p a s s o   1 ⇒ g 1 z = e z

Então, podemos escrever que:

∫ 3 z 2   e z d z = 3 z 2 e z - ∫ 6 z   e z   d z

Passo 4

Observe que teremos que aplicar a integração por partes novamente. Assim:

f 2 z = 6 z       e       g 2 ' z =   e z

Derivando f e integrando g ' , temos:

f 2 z = 6 z ⇒ f 1 ' z = 6

g 1 ' z =   e z ⇒ g z = ∫ e z   d z   ⇒   C o m o   c a l c u l a d o   n o   p a s s o   1 ⇒ g 1 z = e z

Então, podemos escrever que:

∫ 6 z   e z d z = 6 z e z - ∫ 6   e z   d z = 6 z e z - 6 e z

Passo 5

Retomando a integral inicial e aplicando os resultados encontrados, temos:

∫ z 3 e z d z = z 3 e z   - ∫ 3 z 2   e z d z + C = z 3 e z - 3 z 2 e z - ∫ 6 z   e z   d z + C =

= z 3 e z - 3 z 2 e z - 6 z e z - 6 e z + C = z 3 e z - 3 z 2 e z + 6 z e z - 6 e z + C

Vale ressaltar que nós colocamos a constante somente no final ( na substituição dos valores da integral principal), pois cada integral indefinida geral uma constante e no final somamos essas constantes que resulta em outra constante, logo como não conhecemos essas constantes assumimos um valor C final para elas.

Resposta

z 3 e z - 3 z 2 e z + 6 z e z - 6 e z + C

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