Calcule a integral

∫ tan 6 ⁡ ( a y ) d y

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Vamos fazer o seguinte,

∫ tan 6 ⁡ a y d y = ∫ tan 4 ⁡ a y tan 2 ⁡ ( a y ) d y

A gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan 2 ⁡ ( a y ) + 1 = sec 2 ⁡ ( a y )

Então, substituindo

∫ tan 4 ⁡ a y tan 2 ⁡ a y d y = ∫ tan 4 ⁡ a y sec 2 ⁡ a y - 1 d y = ∫ tan 4 ⁡ a y sec 2 ⁡ a y d y - ∫ tan 4 ⁡ ( a y ) d y

Passo 2

Vamos calcular separadamente cada integral pra depois substituirmos.

Calculando a primeira integral

∫ tan 4 ⁡ a y sec 2 ⁡ a y d y

Seja u = t a n ⁡ ( a y ) , temos que d u / a   = sec 2 ⁡ ( a y ) d y , então, substituindo

∫ tan 4 ⁡ a y sec 2 ⁡ a y d y = 1 a ∫ u 4 d u = 1 5 a u 5 + c 1 = 1 5 a tan ⁡ a y + c 1

Calculando a segunda integral

∫ tan 4 ⁡ a y d y = ∫ tan 2 ⁡ a y tan 2 ⁡ a y d y = ∫ tan 2 ⁡ a y sec 2 ⁡ a y - 1 d y = ∫ tan 2 ⁡ a y sec 2 ⁡ a y - tan 2 ⁡ a y d y = ∫ tan 2 ⁡ a y sec 2 ⁡ a y - sec 2 ⁡ a y + 1 d y = ∫ tan 2 ⁡ a y sec 2 ⁡ a y d y - ∫ sec 2 ⁡ a y d y + ∫ 1 d y

Calculando ∫ tan 2 ⁡ a y sec 2 ⁡ a y d y , seja, u = t a n ⁡ ( a y ) , d u / a = sec 2 ⁡ ( a y ) d y

∫ tan 2 ⁡ a y sec 2 ⁡ a y d y = 1 a ∫ u 2 d u = 1 3 a u 3 = 1 3 a tan 3 ⁡ ( a y )

∫ tan 4 ⁡ a y d y = ∫ tan 2 ⁡ a y sec 2 ⁡ a y d y - ∫ sec 2 ⁡ a y d y + ∫ 1 d y = 1 3 a tan 3 ⁡ a y - 1 a tan ⁡ a y + y + c 2

Passo 3

Agora que calculamos cada integral, podemos substituir o resultado de cada uma

∫ tan 4 ⁡ a y sec 2 ⁡ a y d y - ∫ tan 4 ⁡ a y d y = 1 5 a tan 5 ⁡ a y + c 1 - 1 3 a tan 3 ⁡ a y + 1 a tan ⁡ a y - y - c 2

Se somarmos duas constantes, o resultado será uma nova constante, então podemos substituir todas as constantes por uma constate só, que vou chamar arbritrariamente de k . Então

1 5 a tan 5 ⁡ a y + c 1 + 1 3 a tan 3 ⁡ a y - 1 a tan ⁡ a y + y + c 2 = 1 5 a tan 5 ⁡ a y - 1 3 a tan 3 ⁡ a y + 1 a tan ⁡ a y - y + k

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

∫ tan 6 ⁡ ( a y ) d y = 1 5 a tan 5 ⁡ a y - 1 3 a tan 3 ⁡ a y + 1 a tan ⁡ a y - y + k

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