Calcule a integral

∫ sec 6 ⁡ t d t

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral

∫ sec 6 ⁡ t d t

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral.

Vamos fazer o seguinte,

∫ sec 6 ⁡ t d t = ∫ sec 4 ⁡ t ⋅ sec 2 ⁡ t d t

A gente precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan 2 ⁡ ( t ) + 1 = sec 2 ⁡ ( t )

Então, substituindo

∫ sec 4 ⁡ t ⋅ sec 2 ⁡ t d t = ∫ tan 2 ⁡ t + 1 2 ⋅ sec 2 ⁡ ( t ) d t

Agora, podemos resolver por meio da substituição

Seja u = tan ⁡ t , então d u = sec 2 ⁡ ( t ) d t

Veja só!

Passo 2

Aplicando o método de substituição...

∫ tan 2 ⁡ t + 1 2 ⋅ sec 2 ⁡ t d t = ∫ u 2 + 1 2 d u = ∫ u 4 + 2 u 2 + 1 d u

Viu como ficou mais simples?! Agora é só a gente integrar esse polinômio do mesmo jeito que integramos x α , está lembrado? Então integrando...

∫ u 4 + 2 u 2 + 1 d u = 1 5 u 5 + 2 3 u 3 + 1 u + c

Substituindo u = tan ⁡ t

1 5 u 5 + 2 3 u 3 + 2 u = 1 5 tan 5 ⁡ ( t ) + 2 3 tan 3 ⁡ ( t ) + tan ⁡ t + c

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ sec 6 ⁡ t d t = 1 5 tan 5 ⁡ ( t ) + 2 3 tan 3 ⁡ ( t ) + tan ⁡ t + c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados