Prove:

∫ c o s e c h   u . d u = ln ⁡ | t g h u 2 | + c

Passo 1

Para provar a igualdade precisamos lembrar que:

c o s e c h   u = 1 s e n h   u

s e n h   2 u = 2 . s e n h   u . cosh ⁡ u

Então:

∫ c o s e c h   u . d u = ∫ 1 s e n h   u . d u = ∫ 1 2 . s e n h u 2 . cosh ⁡ u 2 . d u

Reorganizando:

∫ c o s e c h   u . d u = 1 2 ∫ 1 cosh ² ⁡ u 2 s e n h u 2 cosh ⁡ u 2 . d u = 1 2 ∫ s e c h ² u 2 t g h u 2 . d u

Fazendo

x = t g h u 2

d x = 1 2 s e c h ² u 2 d u

∫ c o s e c h   u . d u = ∫ d x x = ln ⁡ x

Substituindo novamente:

∫ c o s e c h   u . d u = ln ⁡ | t g h u 2 |

Concluindo:

∫ c o s e c h   u . d u = ln ⁡ | t g h u 2 | + c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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