Enunciado

Calcule a integral trocando a ordem de integração.

∫ 0 1   ∫ a r c s e n   y π 2 cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x d y

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O primeiro passo é esboçar a região:

Invertendo a ordem de integração, temos que x vai de 0 até π 2 , enquanto y vai do eixo x ( y = 0 ) até a reta y = s e n   x . Assim:

∫ 0 1   ∫ a r c s e n   y π 2 cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x d y = ∫ 0 π / 2   ∫ 0 s e n   x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d y d x

Passo 2

Resolvendo a integral de dentro, temos:

∫ 0 s e n   x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d y = cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x y 0 s e n   x

∫ 0 s e n   x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d y = s e n   x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x

Portanto:

∫ 0 π / 2   ∫ 0 s e n   x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d y d x = ∫ 0 π / 2   s e n   x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x

Vamos aplicar a integração por substituição:

Seja:

u = 1 + cos 2 ⁡ x  

d u = - 2 cos ⁡ x   s e n   x   d x

Analisando os limites, temos:

x = 0 → u = 2

x = 1 → u = 1

Substituindo, temos:

∫ 0 π / 2   s e n   x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d x = ∫ 2 1   - u d u 2    

∫ 2 1   - u d u 2 = - 1 2 u 3 2 3 / 2 2 1

∫ 2 1   - u d u 2 = - 1 3 1 - 2 3 3

∫ 2 1   - u d u 2 = 1 3 2 2 - 1

A nossa resposta será:

∫ 0 π / 2   ∫ 0 s e n   x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d y d x = 1 3 2 2 - 1

Resposta

∫ 0 π / 2   ∫ 0 s e n   x cos ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x d y d x = 1 3 2 2 - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.