Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.

5)

∫ 0 3 ∫ 0 2 4 - y 2 d y   d x

Passo 1

Fala galerinha tranquilidade, seguinte nesses exercícios nós teremos que integrar cada váriavel mantendo a outra constante, como se fosse uma derivada parcial, isso porque vamos utlizar o teorema de Fubini, que diz que podemos calcular um volume por meio de uma integral dupla em relação ao plano xy, a definição diz o seguinte:

Desde que a função seja contínua entre os limites de ingração do retângulo.

Passo 2

Com isso podemos calcular as integrais usando o método mais conveniente, é imporante que se faço o cálculo das funções mais internas para as mais externas.

Vamos começar analisando nossa integral:

∫ 0 3 ∫ 0 2 4 - y 2 d y   d x

Resolvendo de dentro para fora, temos:

∫ 0 3 4 y - y 3 3 0 2   d x

Substituindo nos limites de integração, temos:

∫ 0 3 8 - 8 3   d x = 16 3 ∫ 0 3 d x

Resolvendo a integral e aplicando os limites de integração, temos:

16 3 ⋅ 3 = 16

Resposta

∫ 0 3 ∫ 0 2 4 - y 2 d y   d x = 16

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