Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.

3)

∫ - 1 0 ∫ - 1 1 x + y + 1   d x   d y  

Passo 1

Fala galerinha tranquilidade, seguinte nesses exercícios nós teremos que integrar cada váriavel mantendo a outra constante, como se fosse uma derivada parcial, isso porque vamos utlizar o teorema de Fubini, que diz que podemos calcular um volume por meio de uma integral dupla em relação ao plano xy, a definição diz o seguinte:

∬ R f x , y   d A = ∫ c d ∫ a b f x , y   d x   d y

Desde que a função seja contínua entre os limites de ingração do retângulo.

Pelo nosso problema, temos que:

f x , y = x + y + 1

Onde:

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 ≤ y ≤ 0

Devemos resolver a integral de dentro para fora, ou seja, integrando primeiro em função de x e depois em função de y . Vamos nessa!

Passo 2

Realizando a integral em função de x temos:

∫ - 1 0 ∫ 1 1 x + y + 1   d x   d y = ∫ - 1 0 x 2 2 + x y + x - 1 1   d y

Resolvendo a expressão avaliando nos limites de integração, teremos:

x 2 2 + x y + x - 1 1 = 1 2 + y + 1 - 1 2 - y - 1

Simplificando a expressão:

x 2 2 + x y + x - 1 1 = 2 y + 2

Substituindo na integral, vamos ficar com:

∫ - 1 0 x 2 2 + x y + x - 1 1   d y = ∫ - 1 0 2 y + 2   d y

Resolvendo, temos:

∫ - 1 0 2 y + 2   d y = 2 y 2 2 + 2 y - 1 0

Avaliando nos limites de integração, teremos:

0 2 - 0 - 1 - 2 = 0 - - 1

Sendo assim, teremos:

∫ - 1 0 2 y + 2   d y = 1

Com isso, nossa integral é avaliada como:

∫ - 1 0 ∫ - 1 1 x + y + 1   d x   d y = 1

Resposta

∫ - 1 0 ∫ - 1 1 x + y + 1   d x   d y = 1

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