Calcule a integral ∫ X   S e n   X 2   d x usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   x

Pois é o valor mais simples de derivar.

d u   =   ( x ) ’ .   d x

d u   =   1   .   d x

d u   =   d x

d v   =   S e n   x 2   d x

v   =   ∫ S e n   x 2   d x

v   =   -   c o s x 2 1 2

v   =   - 2 .   C o s   x 2

OBS: Quando tivermos ∫ S e n   ( K . x )   d x , sendo K uma constante, então utilizamos a fórmula que vem do método da substituição: ∫ S e n   ( K . x )   d x = -   c o s ⁡ ( K . x ) K +c , o C será acrescentado no resultado final, a constante da questão é ½.

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ x .   s e n   x 2   d x = x . ( - 2 . c o s x 2 ) -   ∫ ( - 2 ) . c o s x 2   d x

=   - 2 x . c o s x 2 - ( - 2 ) ∫ c o s x 2   d x

=   - 2 x . c o s x 2 + 2   s e n x 2 1 2   =   - 2 X . c o s X 2 + 4 .   s e n   X 2 + C  

OBS: Assim como para o seno, no cosseno usamos a fórmula similar que tem origem no método da substituição:

∫ c o s   ( K . x )   d x = s e n ⁡ ( K . x ) K + c

Resposta

∫ X .   s e n   X 2   d x =   - 2 X . c o s X 2 + 4 .   s e n   X 2 + C

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