Calcule a integral ∫ x 2 .   s e n   x d x usando integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

Passo 2

Escolher o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   x 2  

P o i s   é   o   v a l o r   m a i s   s i m p l e s   d e   d e r i v a r .            

d u   =   ( x 2 ) ’ .   d x                    

d u   =   2 x   .   d x        

d v   =   s e n   x   d x  

v   =   ∫   s e n   x   d x

v   =   -   c o s   x

Passo 3

Substituir os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ x 2 .   s e n   x d x = x 2 . ( - cos ⁡ x ) -   ∫ ( - cos ⁡ x )   .   2 x   d x    

= -   x 2 . cos ⁡ x - ( -   2 ) ∫ x . cos ⁡ x   d x    

= -   x 2 . cos ⁡ x + 2 ∫ x . cos ⁡ x   d x    

Para continuar desenvolvendo a questão precisamos resolver ∫ x . cos ⁡ x   d x     , e a melhor forma é resolvendo por partes:

w   =   x        

d w   =   ( x ) ’ .   d x      

d w   =   1   .   d x            

d z   =   c o s   x   d x

z   =   ∫ cos ⁡ x   d x

z   =   s e n   x

∫ w   d z = w . z -   ∫ z   d w

∫ x . cos ⁡ x   d x     = x . sen x ⁡ -   ∫ s e n   x   d x

=   x . s e n   x - ( - cos ⁡ x )

x . s e n   x + cos ⁡ x

Agora é só substituir o resultado pra continuar o desenvolvimento:

∫ x 2 .   s e n   x d x =   -   x 2 . cos ⁡ x + 2 ∫ x . cos ⁡ x   d x    

=   -   x 2 . cos ⁡ x + 2 ( x . s e n   x + cos ⁡ x )

= -   x 2 . cos ⁡ x + 2 x . s e n   x + 2 . cos ⁡ x + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ x 2 .   s e n   x d x =   -   x 2 . cos ⁡ x + 2 x . s e n   x + 2 . cos ⁡ x + c  

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