Calcule a integral ∫ ( r 2 + r + 1 ) . e r   d r usando integração por partes

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral utilizemos a integração por partes, para isso é preciso lembrar da fórmula:

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

No entanto, caso haja repetições de integração por partes utilizamos uma maneira mais organizada e que facilita os cálculos, que é a integração tabular.

Passo 2

Separamos ∫ ( r 2 + r + 1 ) . e r   d r em f(x) = ( r 2 + r + 1 ) e g(x) = e r ,e seguida montamos a tabela:

f(X) e suas derivadas g(x) e suas integrais

Passo 3

Depois multiplicamos as funções ligadas e combinamos elas de acordo com os sinais das operações indicadas.

∫ ( r 2 + r + 1 ) . e r   d r = ( r 2 + r + 1 ) . e r - ( 2 r + 1 ) .   e r + 2 .   e r

= e r ( r 2 + r + 1 ) - ( 2 r + 1 ) + 2

= e r r 2 + r + 1 - 2 r - 1 + 2

= e r r 2 - r + 2 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ ( r 2 + r + 1 ) . e r   d r = e r r 2 - r + 2 + c

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