Calcule a integral usando integração por partes

∫ l n ⁡ ( x + 1 ) d x

Passo 1

Nosso objetivo é simplificar ao máximo o trabalho na hora de fazer as contas. Dessa maneira, quando formos utilizar a integração por partes devemos pensar qual membro da integração é mais vantajoso derivar, pois lembre que derivar é mais simples do que integrar, isso significa que o membro mais complexo deve ser o que colocaremos como u .

Sendo assim, utilizando integração por partes suponha,

u = ln ⁡ x + 1 ⇒ d u = 1 x + 1 . ( 1 ) d x ⇒ d u = 1 x + 1 d x ,

d v = 1 ⇒ v = x

Sabemos que,

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Sendo assim,

⇒ ∫ l n ⁡ ( x + 1 ) d x

= ln ⁡ x + 1 . x - ∫ x 1 x + 1 d x  

= ln ⁡ x + 1 . x - ∫ x x + 1 d x  

Lembrando que, como estamos com uma integral precisamos lembrar de acrescentar o C , porém, faremos isso ao final. Além disso como não sabemos o intervalo em que x varia então precisamos garantir que o argumento o logaritmo seja positivo, sendo assim,

∫ l n ⁡ ( x + 1 ) d x = ln ⁡ | x + 1 | . x - ∫ x x + 1 d x  

Passo 2

Utilizando o método de substituição suponha

u = x + 1 ⇒ d u = ( 1 ) d x

Além disso,

u = x + 1 ⇒ x = u - 1

Sendo assim,

∫ x x + 1 d x   = ∫ u - 1 u d u = ∫ u u - 1 u d u

= ∫ u u d u - ∫ 1 u d u = ∫ 1   d u - ∫ 1 u d u = u - l n ⁡ | u |

Como estamos não estamos com a integral definida, ou seja, desejamos apenas encontrar a primitiva então vamos voltar a variável x . Isto é

∫ x x + 1 d x   = x + 1 - l n ⁡ | x + 1 |

Portanto,

∫ l n ⁡ ( x + 1 ) d x = x ln ⁡ x + 1 - x + 1 - ln ⁡ x + 1 + C

= x ln ⁡ | x + 1 | - x + 1 + ln ⁡ x + 1 + C

= ln ⁡ | x + 1 | ( x + 1 ) - x + 1 + C

Resposta

∫ l n ⁡ ( x + 1 ) d x = ln ⁡ | x + 1 | ( x + 1 ) - x + 1 + C

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