Calcule a integral usando a Tabela de Integrais.

∫ x 3 - x 2 e - x d x

Passo 1

Bom galera, vamos começar dando uma mexidinha pra deixarmos ainda mais parecido com uma integral tabelada. Vamo substituir a variável para:

u = - x

d u = - d x

Aí nossa integral:

∫ x 3 - x 2 e - x d x

Fica assim:

∫ - u 3 - - u 2 e u   - d u

= ∫ u 3 + u 2 e u   d u

E pela propriedade da soma de integrais a gente pode separar ela assim:

∫ u 3 e u   d u + ∫ u 2 e u   d u

Passo 2

Belezinha, a integral da tabela que mais se encaixa com a nossas integrais:

∫ u n e n   d u = u n e u - n ∫ u n - 1 e u   d u

Passo 3

Show de bola, agora vamos aplicar isso nas nossas integrais:

∫ u 3 e u   d u + ∫ u 2 e u   d u

= u 3 e u - 3 ∫ u 3 - 1 e u   d u + ∫ u 2 e u   d u

= u 3 e u - 3 ∫ u 2 e u   d u + ∫ u 2 e u   d u

= u 3 e u - 3 - 1 ∫ u 2 e u   d u

= u 3 e u - 2 ∫ u 2 e u   d u

= u 3 e u - 2 u 2 e u - 2 ∫ u 2 - 1 e u   d u

= u 3 e u - 2 u 2 e u - 2 ∫ u 1 e u   d u

= u 3 e u - 2 u 2 e u - 2 u 1 e u - 1 ∫ u 1 - 1 e u   d u

= u 3 e u - 2 u 2 e u - 2 u 1 e u - 1 ∫ u 0 e u   d u

Eu sei que é grande, mas vamos continuar passo a passo e tá terminando:

u 3 e u - 2 u 2 e u - 2 u e u - ∫ e u   d u

= u 3 e u - 2 u 2 e u - 2 u e u - e u + C

= u 3 e u - 2 u 2 e u - 4 u e u - 4 e u + C

= e u u 3 - 2 u 2 - 4 u - 4 + C

Passo 4

Por fim, a gente volta pra variável original:

e u u 3 - 2 u 2 - 4 u - 4 + C

Lembra que u = - x , então ficamos com:

- e - x x 3 + 2 x 2 + 4 x - 4 + C

Resposta

- e - x x 3 + 2 x 2 + 4 x - 4 + C

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