Calcule a integral sem usar tabelas

∫ - ∞ 0 θ ⋅ e θ   d θ  

Passo 1

Se tratando de integrais impróprias, utilizamos uma mesma técnica com algumas variações

i :       ∫ a ∞ f ( x )   d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ a b f x d x

i i :       ∫ - ∞ a f ( x )   d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ b a f ( x )   d x

i i i :       ∫ - ∞ ∞ f ( x )   d x = ∫ - ∞ c f ( x )   d x + ∫ c ∞ f ( x )   d x   ,   c   é   u m   n ú m e r o   q u a l q u e r

Passo 2

Resolvendo a integral de maneira indefinida para simplificar os nossos cálculos faremos

∫ θ e θ d θ =    

Fazendo f = θ → f ' = 1   e   g ' = e θ → g = e θ teremos, integrando por partes,

∫ θ e θ d θ   = θ e θ - ∫ e θ d θ = θ e θ - e θ + K  

Retornando para a forma definida, vamos ter

∫ - ∞ 0 θ ⋅ e θ   d θ = lim b → - ∞ ⁡ ∫ b 0 θ ⋅ e θ   d θ

lim b → - ∞ ⁡ θ e θ - e θ 0 b =  

l i m b → - ∞   0 e 0 - e 0 - b e b - e b =   - 1

Resposta

- 1

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