Enunciado

A função abaixo satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado? Justifique suas respostas.

f x = sin ⁡ ( x ) x ,     - π ≤ x < 0 0 ,           x = 0

Passo 1

Para que uma função satisfaça as hipóteses do teorema do valor médio, é necessário que:

Seja contínua em todos os pontos do intervalo.

Seja derivável em todos os pontos de seu interior.

Passo 2

Analisando o lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x   x = 1 , vemos que o valor diverge daquele apresentado pela equação, para o qual 0 ,     x = 0 .

Resposta

A função não se aplica ao teorema do valor médio.

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Sejaf x = 1 - x 2 3 . Mostre que f - 1 = f ( 1 ) , mas não existe um número c em ( - 1 ,1 ) tal que f ' c = 0 . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Use o gráfico de f dado no Exercício 7 para estimar os valores de c que satisfaçam à conclusão do Teorema do Valor Médio para o intervalo [ 1 ,7 ] .
Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle. f x = cos ⁡ 2 x ,π 8 , 7 π 8
Use o gráfico de f para estimar os valores de c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio para o intervalo [0,8].
Sejaf x = tg ⁡ x . Mostre que f 0 = f ( π ) , mas não existe um número c em ( 0 ,π ) tal que f ' c = 0 . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?