Enunciado

Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente:

∫ 1 ∞   d x x + e 2 x

Passo 1

Vamos tentar provar que essa função é convergente. Mas para isso podemos fazer uma simplificação:

1 e 2 x   ≥ 1 x + e 2 x

A primeira função é sempre maior ou igual à segunda, então se provarmos que a primeira converge, pelo Teorema da Comparação poderemos dizer que a segunda também converge.

Passo 2

Então vamos olhar para a seguinte integral:

I = ∫ 1 ∞ e - 2 x   d x

A integral indefinida é:

- 1 2 e - 2 x + C

E então, se subtituirmos os limites de integração, temos:

I = lim x → ∞ ⁡ - 1 2 e - 2 x + 1 2 e - 2

O termo no limite vai para zero quando x fica muito grande, então:

I = 1 2 e - 2

Isso quer dizer que a integral é convergente. Então, pelo Teorema da Comparação, a primeira integral também era.

Resposta

A integral é convergente.

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