Enunciado

Calcule a integral

int (tan^2 (x) + tan^4 (x)) d x

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Veja que temos uma soma na integral, então vamos separar essa integral em duas e calcular cada uma separadamente. Separando ficamos com

int (tan^2 (x) + tan^4 (x)) d x = int tan^2 (x) d x + int tan^4 (x) d x

Agora, vamos calcular a primeira integral, pra isso, a gente tem que lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: tan^2 ( x ) = sec^2 ( x ) - 1 , então

int tan^2 (x) d x = int (sec^2 (x) - 1) d x = tan (x) - x + c

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Passo 2

Agora, vamos calcular a segunda integral, nela vamos usar a mesma propriedade trigonométrica que a gente usou na integral que calculamos antes, então fica assim

int tan^4 (x) d x = int tan^2 (x) * tan^2 (x) d x = int tan^2 (x) (sec^2 (x) - 1) d x = int (tan^2 (x) sec^2 (x) - tan^2 (x)) d x

Agora, pra facilitar nossa vida, vamos calcular essas integrais separadamente, mas repare que nós já calculamos int tan^2 ( x ) d x , então a gente não precisa calcular de novo. Vamos calcular somente a integral

int tan^2 (x) sec^2 ( x ) d x

Seja u = tan ( x ) , temos que d u = sec^2 ( x ) d x , então

int tan^2 (x) sec^2 (x) d x = int u^2 d u = (1)/(3) u^3 + c

Substituindo u

int tan^2 (x) sec^2 (x) d x = (1)/(3) tan^3 (x) + c

Agora, juntando o resultado da integral int tan^2 (x) sec^2 ( x ) d x com o resultado da integral int tan^2 ( x ) d x , podemos ter o resultado da integral int (tan^2 (x) sec^2 (x) - tan^2 (x)) d x

int (tan^2 (x) sec^2 (x) - tan^2 (x)) d x = (1)/(3) tan^3 (x) + c_1 - tan (x) + x - c_2

Repare que temos duas constantes, mas pensa o seguinte, se tiver uma constante e subtrair com outra constante, o resultado também será uma constante, então, podemos escrever

int tan^4 (x) d x = int (tan^2 (x) sec^2 (x) - tan^2 (x)) d x = (1)/(3) tan^3 (x) - tan (x) + x + k

Passo 3

Agora, juntando os resultados

int (tan^2 (x) + tan^4 (x)) d x = tan (x) - x + c + (1)/(3) tan^3 (x) - tan (x) + x + k

Repare que temos duas constantes, mas pensa o seguinte, se tiver uma constante e somar com outra constante, o resultado também será uma constante, então, podemos escrever

int (tan^2 (x) + tan^4 (x)) d x = (1)/(3) tan^3 (x) + c

Resposta

int (tan^2 (x) + tan^4 (x)) d x = (1)/(3) tan^3 (x) + c

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