Calcule a integral.

11. ∫ 0 1 2 2 x 2 + 3 x + 1 d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? Nesse problema queremos calcular a integral:

∫ 0 1 2 2 x 2 + 3 x + 1 d x

Parece dificil?!

Integrais com divisões entre polinômios ou com polinômios no denominador, geralmente a gente resolve pelo método das frações parciais.

Pra esse polinômio de 2° grau no denominador, a gente pode simplificá-lo fatorando ele.

Veja só!

Passo 2

Por bhaskara, a gente tem:

2 x 2 + 3 x + 1 = 0

x = - 3 ± 3 2 - 4 × 2 × 1 2 ∙ 2

x = - 3 ± 9 - 8 4 = - 3 ± 1 4 = x 1 = - 1 x 2 = - 1 2

Então, podemos reescrever o polinômio da seguinte forma:

2 x 2 + 3 x + 1 = 2 · x + 1 × x + 1 2

2 x 2 + 3 x + 1 = x + 1 2 x + 1

Reescrevemos nossa função da seguinte forma:

2 2 x 2 + 3 x + 1 = A x + 1 + B 2 x + 1

Aqui, nosso trabalho vai ser determinar os fatores A e B . Tiramos o MMC pros denominadores e escrevemos:

A x + 1 + B x + 1 2 = A × 2 x + 1 + B × x + 1 2 x 2 + 3 x + 1 = 2 2 x 2 + 3 x + 1

Se os denominadores são iguais, podemos cortá-los e escrever:

A × 2 x + 1 + B × x + 1 = 2

Passo 3

Reescrevendo a equação acima temos:

2 A x + A + B + B x = 0

x 2 A + B + A + B = 2

Pra isso ser verdade, então:

A + B = 2

2 A + B = 0 → - 2 A = B

Logo:

A - 2 A = 2

A = - 2

Podemos achar B :

B = - 2 A = 4

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 4

Obtendo os fatores, a gente conseguiu reescrever a função da integral da seguinte forma:

2 2 x 2 + 3 x + 1 = - 2 x + 1 + 4 2 x + 1

Agora, substituímos isso dentro da nossa integral e calculamos mais facilmente:

∫ 0 1 2 2 x 2 + 3 x + 1 d x = ∫ 0 1 - 2 x + 1 + 4 2 x + 1 d x

Começamos por separar essa integralzona em duas, que facilida nossa vida

∫ 0 1 - 2 x + 1 + 4 2 x + 1 d x = ∫ 0 1 - 2 x + 1 d x + ∫ 0 1 4 2 x + 1 d x

Resolvemos as duas integrais diretamente, na ordem que aparecem. Teremos:

∫ 0 1 - 2 x + 1 d x = - 2 × ∫ 0 1 1 x + 1 d x = - 2 × ln ⁡ x + 1 0 1

∫ 0 1 - 2 x + 1 d x = - 2 × ln ⁡ 1 + 1 - ln ⁡ 0 + 1

∫ 0 1 - 2 x + 1 d x = - 2 × ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1

∫ 0 1 - 2 x + 1 d x = - 2 × ln ⁡ 2 - 0 = - 4 ∙ ln ⁡ 2

∫ 0 1 - 2 x + 1 d x = - 2 × ln ⁡ 2

Está acompanhando?

Passo 5

Agora, a segunda:

∫ 0 1 4 2 x + 1 d x = 4 × ∫ 0 1 1 2 x + 1 d x = 4 × ln ⁡ 2 x + 1 0 1

∫ 0 1 4 2 x + 1 d x = 4 × ln ⁡ 2 + 1 - ln ⁡ 0 + 1

∫ 0 1 4 2 x + 1 d x = 4 × ln ��� 3 - ln ⁡ 1

∫ 0 1 4 2 x + 1 d x = 4 × ln ⁡ 3 - 0

∫ 0 1 4 2 x + 1 d x = 4 ln ⁡ 3

Tendo o resultado das duas integrais, voltamos aos colchetes com as integrais e substituímos pelos resultados:

∫ 0 1 - 2 x + 1 d x + ∫ 0 1 4 2 x + 1 d x = - 2 ln ⁡ 2 + 4 ln ⁡ 3

∫ 0 1 2 2 x 2 + 3 x + 1 d x = - 2 ln ⁡ 2 + 4 ln ⁡ 3

Prontinho!

Resposta

∫ 0 1 2 2 x 2 + 3 x + 1 d x = - 2 ln ⁡ 2 + 4 ln ⁡ 3

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