Enunciado

34. Encontre f

f^' (x) = t + (1)/(t^3) , t > 0 f (1) = 6

Passo 1

Antes de começarmos, vamos relembrar uma coisa!

f (x) = x^n -> F (x) = (x^(n + 1))/(n + 1) + C quando n != - 1

Passo 2

Então vamos achar a primitiva de f ' ( x ) , isto é, f ( x ) :

f^' (t) = t + (1)/(t^3)

Reescrevendo, temos:

f^' (t) = t + t^(- 3)

Usando a relação do Passo 1:

f (t) = (t^(1 + 1))/(1 + 1) + (t^(- 3 + 1))/(- 3 + 1) + C

Logo,

f (t) = (t^2)/(2) - (t^(- 2))/(2) + C

Passo 3

Mas ele nos deu a seguinte condição:

f (1) = 6

Do passo 2:

f (t) = (t^2)/(2) - (t^(- 2))/(2) + C

Logo,

f (1) = (1)/(2) - (1)/(2) + C = C

Usando que f (1) = 6

C = 6

Agora é só reescrever f (x)

f (x) = (t^2)/(2) - (t^(- 2))/(2) + 6

Resposta

f (x) = (t^2)/(2) - (t^(- 2))/(2) + 6

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