Calcule a integral

15. ∫ sin ⁡ x cos ⁡ x 2 d x

Passo 1

Pra integrais como essa, em que os argumentos do seno e do cosseno são diferentes, podemos usar a seguinte propriedade pra resolvê-la:

sin ⁡ A cos ⁡ B = sin ⁡ A + B + sin ⁡ ( A - B ) 2

Reescrevemos nossa integral, então, considerando essa propriedade e os argumentos do seno e do cosseno. Teremos:

∫ sin ⁡ x cos ⁡ x 2 d x = ∫ sin ⁡ x + x 2 + sin ⁡ ( x - x 2 ) 2 d θ

Passo 2

Resolvemos então a integral resultante. Começamos por isolar a constante e separar em integrais menores:

∫ sin ⁡ 3 x 2 + sin ⁡ ( x 2 ) 2 d x = 1 2 ∫ sin ⁡ 3 x 2 d x + ∫ sin ⁡ ( x 2 ) d x

Resolvemos as integrais menores na ordem que aparecem:

∴ ∫ sin ⁡ 3 x 2 d x = - 2 cos ⁡ 3 x 2 3

∴ ∫ sin ⁡ ( x 2 ) d x = - 2 cos ⁡ ( x 2 )

Passo 3

Feito isso, substituímos os resultados lá dentro do colchete, e terminamos o cálculo (lembre da constante C ao final da integral!):

1 2 ∫ sin ⁡ 3 x 2 d x + ∫ sin ⁡ ( x 2 ) d x = 1 2 - 2 cos ⁡ 3 x 2 3 - 2 cos ⁡ ( x 2 ) + C =

= 1 2 - 2 cos ⁡ 3 x 2 - 6 cos ⁡ ( x 2 ) 3 + C =

- 2 cos ⁡ 3 x 2 - 6 cos ⁡ ( x 2 ) 6 + C

Resposta

∫ sin ⁡ x cos ⁡ x 2 d x = - 2 cos ⁡ 3 x 2 - 6 cos ⁡ ( x 2 ) 6 + C

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