Calcule a integral

13. ∫ sin ⁡ 2 x cos ⁡ 3 x d x

Passo 1

Pra integrais como essa, em que os argumentos do seno e do cosseno são diferentes, podemos usar a seguinte propriedade pra resolvê-la:

sin ⁡ A cos ⁡ B = sin ⁡ A + B + sin ⁡ ( A - B ) 2

Reescrevemos nossa integral, então, considerando essa propriedade e os argumentos do seno e do cosseno. Teremos:

∫ sin ⁡ 2 x cos ⁡ 3 x d x = ∫ sin ⁡ 2 x + 3 x + sin ⁡ ( 2 x - 3 x ) 2 d x

Passo 2

Resolvemos então a integral resultante. Começamos por isolar a constante e separar em integrais menores:

∫ sin ⁡ 5 x + sin ⁡ ( - x ) 2 d x = 1 2 ∫ sin ⁡ 5 x d x + ∫ sin ⁡ ( - x ) d x

Resolvemos as integrais menores na ordem que aparecem:

∴ ∫ sin ⁡ 5 x d x = - cos ⁡ 5 x 5

∴ ∫ sin ⁡ ( - x ) d x = - cos ⁡ ( - x ) - 1 = cos ⁡ ( - x )

Passo 3

Feito isso, substituímos os resultados lá dentro do colchete, e terminamos o cálculo (lembre da constante C ao final da integral!):

1 2 ∫ sin ⁡ 5 x d x + ∫ sin ⁡ ( - x ) d x = 1 2 - cos ⁡ 5 x 5 + cos ⁡ ( - x ) + C =

= 1 2 - cos ⁡ 5 x + 5 cos ⁡ ( - x ) 5 + C =

= - cos ⁡ 5 x + 5 cos ⁡ ( - x ) 10 + C

Resposta

∫ sin ⁡ 2 x cos ⁡ 3 x d x = - cos ⁡ 5 x + 5 cos ⁡ ( - x ) 10 + C

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