Calcule a integral

14. ∫ sin ⁡ 3 θ cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 1

Pra integrais como essa, em que os argumentos do seno e do cosseno são diferentes, podemos usar a seguinte propriedade pra resolvê-la:

sin ⁡ A cos ⁡ B = sin ⁡ A + B + sin ⁡ ( A - B ) 2

Reescrevemos nossa integral, então, considerando essa propriedade e os argumentos do seno e do cosseno. Teremos:

∫ sin ⁡ 3 θ cos ⁡ 2 θ d θ = ∫ sin ⁡ 3 θ + 2 θ + sin ⁡ ( 3 θ - 2 θ ) 2 d θ

Passo 2

Resolvemos então a integral resultante. Começamos por isolar a constante e separar em integrais menores:

∫ sin ⁡ 5 θ + sin ⁡ ( θ ) 2 d θ = 1 2 ∫ sin ⁡ 5 θ d θ + ∫ sin ⁡ ( θ ) d θ

Resolvemos as integrais menores na ordem que aparecem:

∴ ∫ sin ⁡ 5 θ d θ = - cos ⁡ 5 θ 5

∴ ∫ sin ⁡ ( θ ) d x = - cos ⁡ ( θ )

Passo 3

Feito isso, substituímos os resultados lá dentro do colchete, e terminamos o cálculo (lembre da constante C ao final da integral!):

1 2 ∫ sin ⁡ 5 x d x + ∫ sin ⁡ ( - x ) d x = 1 2 - cos ⁡ 5 θ 5 - cos ⁡ ( θ ) + C =

= 1 2 - cos ⁡ 5 θ - 5 cos ⁡ ( θ ) 5 + C =

= - cos ⁡ 5 θ + 5 cos ⁡ ( θ ) 10 + C

Resposta

∫ sin ⁡ 3 θ cos ⁡ 2 θ d θ = - cos ⁡ 5 θ + 5 cos ⁡ ( θ ) 10 + C

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