Calcule a integral

33. ∫ sec 5 ⁡ x tan 3 ⁡ x d x

Passo 1

Aqui, a estratégia vai ser usar a seguinte propriedade trigonométrica:

tan 2 ⁡ u = sec 2 ⁡ u - 1

Nisso, reescrevemos nossa integral da seguinte forma:

∫ sec 5 ⁡ x tan 3 ⁡ x d x = ∫ sec 4 ⁡ x tan 2 ⁡ x sec ⁡ x tan ⁡ x d x

E agora aplicamos a propriedade:

∫ sec 4 ⁡ x tan 2 ⁡ x sec ⁡ x tan ⁡ x d x = ∫ sec 4 ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1 sec ⁡ x tan ⁡ x d x

Passo 2

Tendo a integral escrita dessa forma, podemos aplicar uma substituição simples. Teremos:

u = sec ⁡ x e d u = sec ⁡ x tan ⁡ x d x

Agora, aplicamos na integral a substituição e vamos ter:

∫ sec 4 ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1 sec ⁡ x tan ⁡ x d x = ∫ u 4 u 2 - 1 d u

Fazemos a distributiva e separamos em duas integrais:

∫ u 4 u 2 - 1 d u = ∫ u 6 d u - ∫ u 4 d u

Passo 3

Essas integrais se resolvem diretamente. Resolvendo elas na ordem que estão, temos:

∫ u 6 d u = u 7 7 + C

Retornando à variável original:

u 7 7 + C = sec 7 ⁡ x 7 + C

Passo 4

∫ u 4 d u = u 5 5 + C

Retornando à variável original:

u 5 5 + C = sec 5 ⁡ x 5 + C

Somamos os resultados obtidos, vamos ter:

∫ sec 5 ⁡ x tan 3 ⁡ x d x = sec 7 ⁡ x 7 - sec 5 ⁡ x 5 + C

Resposta

∫ sec 5 ⁡ x tan 3 ⁡ x d x = sec 7 ⁡ x 7 - sec 5 ⁡ x 5 + C

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