Enunciado

Calcule a inversa da matriz dada ou mostre que ela é singular:

1 - 1 2 0 - 1 2 - 4 2 1 0 1 3 - 2 2 0 - 1

Passo 1

Vamos primeiro recordar o que é a matriz inversa. Uma matriz B é chamada de inversa de A se:

A B = B A = I

Em que I é a matriz identidade. A condição básica para que exista a matriz inversa é que det ⁡ A ≠ 0 . Caso det ⁡ A = 0 , a matriz A é chamada de singular e é não-inversível. Tudo bem??

Então, vamos ao exercício.

Passo 2

Antes de calcular o determinante da matriz precisamos reduzir sua ordem. Para isso vamos aplicar a regra de Chió. Ela é dada por:

Encontramos um coeficiente igual a 1. Então selecionamos a linha e a coluna do coeficiente. Dos termos que restaram devemos subtrair a multiplicação dos termos correspondentes na linha e coluna que retiramos. Vamos fazer pegar um termo para exemplificar:

O termo na matriz original é -1. Na coluna em que ele estava retiramos o número 0 e, na linha em que ele estava retiramos o número -2. Tudo bem???

Na matriz reduzida este termo será - 1 - - 2 x 0 = 1 . Fez sentido agora? Vamos então determinar a matriz reduzida:

2 - ( - 1 ) x ( - 1 ) - 4 - 2 x ( - 1 ) 2 - - 1 x 0 0 - 1 x ( - 1 ) 1 - 2 x ( - 1 ) 3 - 1 x 0 2 - ( - 1 ) x ( - 2 ) 0 - - 2 x 2 - 1 - 0 x ( - 2 ) =

1 - 2 2 1 3 3 0 4 - 1

Agora que temos uma matriz 3x3 podemos calcular o determinante:

det ⁡ 1 - 2 2 1 3 3 0 4 - 1 =

1 - 2 2 1 3 3 0 4 - 1 =

1 x 3 x - 1 + - 2 x 3 x 0 + 2 x 1 x 4 - 0 x 3 x 2 - 4 x 3 x 1 - - 1 x 1 x ( - 2 ) = - 9

Então, a matriz é inversível. Vamos agora determinar a matriz inversa.

Passo 3

O método mais comum é o seguinte:

1 - 1 2 0 - 1 2 - 4 2 1 0 1 3 - 2 2 0 - 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Espelhar a matriz e a identidade. Em seguida vamos tentar transformar a matriz na matriz identidade:

1 - 1 2 0 - 1 2 - 4 2 1 0 1 3 - 2 2 0 - 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Vamos começar somando a primeira linha na segunda:

1 - 1 2 0 0 1 - 2 2 1 0 1 3 - 2 2 0 - 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Agora iremos subtrair a primeira da terceira linha:

1 - 1 2 0 0 1 - 2 2 0 1 - 1 3 - 2 2 0 - 1 1 0 0 0 1 1 0 0 - 1 0 1 0 0 0 0 1

Vamos agora multiplicar a primeira linha por 2 e somar na quarta:

1 - 1 2 0 0 1 - 2 2 0 1 - 1 3 0 0 4 - 1 1 0 0 0 1 1 0 0 - 1 0 1 0 2 0 0 1

Iremos agora subtrair a segunda linha da terceira:

1 - 1 2 0 0 1 - 2 2 0 0 1 1 0 0 4 - 1 1 0 0 0 1 1 0 0 - 2 - 1 1 0 2 0 0 1

Nosso próximo passo será multiplicar a terceira linha por 4 e subtrair da quarta linha:

1 - 1 2 0 0 1 - 2 2 0 0 1 1 0 0 0 - 5 1 0 0 0 1 1 0 0 - 2 - 1 1 0 10 4 - 4 1

Agora, vamos somar multiplicar a quarta linha por -1/5:

1 - 1 2 0 0 1 - 2 2 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 - 2 - 1 1 0 - 2 - 4 / 5 4 / 5 - 1 / 5

Iremos agora subtrair a quarta linha da terceira:

1 - 1 2 0 0 1 - 2 2 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 - 1 / 5 1 / 5 1 / 5 - 2 - 4 / 5 4 / 5 - 1 / 5

Nosso próximo passo será multiplicar a terceira linha por 2 e somar na segunda linha:

1 - 1 2 0 0 1 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 3 / 5 2 / 5 2 / 5 0 - 1 / 5 1 / 5 1 / 5 - 2 - 4 / 5 4 / 5 - 1 / 5

Vamos agora multiplicar a quarta linha por 2 e subtrair da segunda linha:

1 - 1 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 5 11 / 5 - 6 / 5 4 / 5 0 - 1 / 5 1 / 5 1 / 5 - 2 - 4 / 5 4 / 5 - 1 / 5

Agora, iremos somar a segunda linha na primeira:

1 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 6 11 / 5 - 6 / 5 4 / 5 5 11 / 5 - 6 / 5 4 / 5 0 - 1 / 5 1 / 5 1 / 5 - 2 - 4 / 5 4 / 5 - 1 / 5

Nosso último passo será multiplicar a terceira linha por 2 e subtrair da primeira linha:

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 6 1 3 / 5 - 8 / 5 2 / 5 5 11 / 5 - 6 / 5 4 / 5 0 - 1 / 5 1 / 5 1 / 5 - 2 - 4 / 5 4 / 5 - 1 / 5

Então, a matriz inversa é:

6 13 / 5 - 8 / 5 2 / 5 5 11 / 5 - 6 / 5 4 / 5 0 - 1 / 5 1 / 5 1 / 5 - 2 - 4 / 5 4 / 5 - 1 / 5

Resposta

A matriz inversa é:

6 13 / 5 - 8 / 5 2 / 5 5 11 / 5 - 6 / 5 4 / 5 0 - 1 / 5 1 / 5 1 / 5 - 2 - 4 / 5 4 / 5 - 1 / 5

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Se A = 3 2 - 1 2 - 1 2 1 2 1 e B = 2 1 - 1 - 2 3 3 1 0 2 , verifique que 2 A + B = 2 A + 2 B .
Se A = 1 - 2 0 3 2 - 1 - 2 0 3 , B = 2 1 - 1 - 2 3 3 1 0 2 e C = 2 1 0 1 2 2 0 1 - 1 , verifique que (a) A B C = A ( B C ) (b) A + B + C = A + ( B + C ) (c) A B + C = A B + A C