Calcule e justifique:

lim x → 3 ⁡ x 3 - 3 3 x - 3

Passo 1

Neste caso, tanto o denominador quanto o denominador, então não podemos calcular o limite diretamente apenas substituindo valores.

Devemos então manipular a função, e para isso, devemos lembrar que para uma diferença de dois cubos, vale a propriedade:

a 3 - b 3 = a - b ( a 2 + a b + b 2 )

E por que isso? Por que os caras de baixo são os caras de cima elevados ao cubo! Se fizermos a = x 3 e b = 3 3 , podemos reescrever o denominador como

x 3 3 - 3 3 3 = x 3 - 3 3 x 3 2 + x 3 3 3 + 3 3 2

x - 3 = x 3 - 3 3 x 2 3 + 3 x 3 + 9 3

Passo 2

Agora vamos substituir isso na nossa fração

x 3 - 3 3 x - 3 = x 3 - 3 3 x 3 - 3 3 x 2 3 + 3 x 3 + 9 3

E olha que maravilha! Toda essa bruxaria que a gente fez valeu a pena por que agora dá pra corta os termos x 3 - 3 3 .

A nossa fração então vira

x 3 - 3 3 x - 3 = 1 x 2 3 + 3 x 3 + 9 3

Passo 3

Agora sim dá pra calcular aquele limite o/

lim x → 3 ⁡ x 3 - 3 3 x - 3 = lim x → 3 ⁡ 1 x 2 3 + 3 x 3 + 9 3 = 1 3 2 3 + 3 ⋅ 3 3 + 9 3

lim x → 3 ⁡ x 3 - 3 3 x - 3 = 1 3 9 3

Resposta

lim x → 3 ⁡ x 3 - 3 3 x - 3 = 1 3 9 3

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