Enunciado

Calcule e justifique:

underset(x -> 3)(lim) (root(3)(x) - root(3)(3))/(x - 3)

Passo 1

Neste caso, tanto o denominador quanto o denominador, então não podemos calcular o limite diretamente apenas substituindo valores.

Devemos então manipular a função, e para isso, devemos lembrar que para uma diferença de dois cubos, vale a propriedade:

a^3 - b^3 = (a - b) ( a^2 + a b + b^2 )

E por que isso? Por que os caras de baixo são os caras de cima elevados ao cubo! Se fizermos a = root(3)(x) e b = root(3)(3) , podemos reescrever o denominador como

(root(3)(x))^3 - (root(3)(3))^3 = (root(3)(x) - root(3)(3)) (root(3)(x)^2 + root(3)(x) root(3)(3) + root(3)(3)^2)

x - 3 = (root(3)(x) - root(3)(3)) (root(3)(x^2) + root(3)(3 x) + root(3)(9))

Passo 2

Agora vamos substituir isso na nossa fração

(root(3)(x) - root(3)(3))/(x - 3) = (root(3)(x) - root(3)(3))/((root(3)(x) - root(3)(3)) (root(3)(x^2) + root(3)(3 x) + root(3)(9)))

E olha que maravilha! Toda essa bruxaria que a gente fez valeu a pena por que agora dá pra corta os termos (root(3)(x) - root(3)(3)) .

A nossa fração então vira

(root(3)(x) - root(3)(3))/(x - 3) = (1)/((root(3)(x^2) + root(3)(3 x) + root(3)(9)))

Passo 3

Agora sim dá pra calcular aquele limite o/

underset(x -> 3)(lim) (root(3)(x) - root(3)(3))/(x - 3) = underset(x -> 3)(lim) (1)/((root(3)(x^2) + root(3)(3 x) + root(3)(9))) = (1)/((root(3)(3^2) + root(3)(3 * 3) + root(3)(9)))

underset(x -> 3)(lim) (root(3)(x) - root(3)(3))/(x - 3) = (1)/(3 root(3)(9))

Resposta

underset(x -> 3)(lim) (root(3)(x) - root(3)(3))/(x - 3) = (1)/(3 root(3)(9))

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