Enunciado

Calcule o limite, se existir.

lim x → 2 ⁡ x 4 - 16 x - 2

Passo 1

Opa, bora lá! Temos que calcular o seguinte limite, caso ele exista:

lim x → 2 ⁡ x 4 - 16 x - 2

Podemos pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor 0 na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação:

lim x → 2 ⁡ x 4 - 16 x - 2 = 2 4 - 16 2 - 2 = 2 2

Aqui a gente vai precisar manipular a função até poder substituir h = 0 . Caso o resultado seja um número real, então sucesso! Mas pode acontecer do resultado do limite ser ± ∞ ou dele simplesmente ser incalculável.

Nesse caso dizemos que o limite não existe. Agora vamos lá?!

Passo 2

Vamos analisar o limite:

lim x → 2 ⁡ x 4 - 16 x - 2

Pra isso precisamos reescrever o numerador de modo que o x - 2 apareça multiplicando. Aí a gente pode cortar com o denominador e sucesso!

Se a gente observar bem o numerador, temos uma diferença de quadrado. Então a gente pode lembrar que:

a 2 - b 2 = a + b a - b

Para o nosso caso temos:

x 4 - 16 = x 2 2 - 4 ²

Então:

x 2 2 - 4 ² = x 2 + 4 x 2 - 4

Substituindo no limite:

lim x → 2 ⁡ x 4 - 16 x - 2 = lim x → 2 ⁡ x 2 + 4 x 2 - 4 x - 2

Ainda não resolveu! Mas podemos ver que também é uma diferença de quadrados:

x 2 - 4 = x + 2 x - 2

Então:

= lim x → 2 ⁡ x 2 + 4 x + 2 x - 2 x - 2

= lim x → 2 ⁡ x 2 + 4 x + 2

Abrindo esses parênteses:

= lim x → 2 ⁡ x 3 + 2 x 2 + 4 x + 8

Passo 3

Agora é só substituir:

lim x → 2 ⁡ x 3 + 2 x 2 + 4 x + 8 = 2 3 + 2 2 2 + 4 2 + 8

lim x → 2 ⁡ x 3 + 2 x 2 + 4 x + 8 = 32

Prontinhoo!

Resposta

lim x → 2 ⁡ x 4 - 16 x - 2 = 32

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