Enunciado

Calcule o limite, se existir.

lim x → - 2 ⁡ x + 2 x 3 + 8

Passo 1

Eaee, belezinha? Bom.. queremos calcular o seguinte limite:

lim x → - 2 ⁡ x + 2 x 3 + 8

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor - 2 na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação:

lim x → - 2 ⁡ x + 2 x 3 + 8 = - 2 + 2 - 2 3 + 8 = 0 0

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, então vamo lá!!

Passo 2

Uma boa estratégia aqui é fatorarmos o numerador e o denominador da função para assim ver se podemos simplifica-la.

Temos

lim x → - 2 ⁡ x + 2 x 3 + 8

Perceba que o denominador é um polinômio do terceiro grau, da seguinte forma

a 3 + b 3

Ele é um produto notável chamado soma de cubos e suas forma fatorada é do tipo:

a 3 + b 3 = a 2 - a b + b 2 a + b

Assim temos a = x e b = 2 :

x 3 + 2 3

Se torna:

x 2 - 2 x + 2 2 x + 2

x 2 - 2 x + 4 x + 2

Resultando no limite:

lim x → - 2 ⁡ x + 2 x 2 - 2 x + 4 x + 2

Passo 3

Agora temos o limite da seguinte forma:

lim x → - 2 ⁡ x + 2 x 3 + 8 = lim x → - 2 ⁡ x + 2 x 2 - 2 x + 4 x + 2

Podemos simplificar eliminando a expressão x + 2 que aparece tanto no numerador quanto no denominador, então vamos lá:

lim x → - 2 ⁡ x + 2 x 2 - 2 x + 4 x + 2 = lim x → - 2 ⁡ 1 x 2 - 2 x + 4

Passo 4

Agora é só substituir o valor - 2 na expressão, e pronto, tudo resolvido.

lim x → - 2 ⁡ 1 x 2 - 2 x + 4 =   1 - 2 2 - 2 . - 2 + 4 = 1 12

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

lim x → - 2 ⁡ x + 2 x 3 + 8 = 1 12

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