Enunciado

Seja F x = x 2 - 1 x - 1

  1. Encontre
    1. lim x → 1 + ⁡ F ( x )
    2. lim x → 1 - ⁡ F ( x )
  2. Existe lim x → 1 ⁡ F ( x )
  3. Esboce o gráfico de F .

Passo 1

Olá, caro aluno. Vamos resolver agora uma atividade de limites.

Temos aqui a função

F x = x 2 - 1 x - 1

Uma função interessante, pois conta com um modulo em seu denominador, e nos é pedido para calcularmos os limites laterais e o limite da função em x → 1 .

Veja que é importante aqui nos atentarmos, qual será o denominador, já que

x - 1 = x - 1 ,   x ≥ 1

E

x - 1 = - x + 1 ,   x < 1

Então na hora de calcularmos os limites laterais, precisamos ter essa atenção extra.

Para calcularmos o limite

lim x → 1 ⁡ F x

Precisamos que os limites laterais sejam iguais.

É isso, de modo geral é essa a atividade, agora vamos colocar a mão na massa.

Passo 2

  1. i) Vamos achar o limite
  2. lim x → 1 + ⁡ F ( x )

    Analisando o limite pela direita, iremos trabalhar com valores infinitesimalmente maiores que 1, sendo assim:

    x - 1 = ( x - 1 ) para x ≥ 1

    Então:

    lim x → 1 + ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ x 2 - 1 x - 1

    Agora vamos resolver esse limite.

    Vamos fatorar o numerador:

    lim x → 1 + ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ ( x + 1 ) ( x - 1 ) x - 1

    Podemos agora simplificar a expressão:

    lim x → 1 + ⁡ ( x + 1 ) ( x - 1 ) x - 1 = lim x → 1 + ⁡ x + 1

    Agora ficou fácil resolver:

    lim x → 1 + ⁡ ( x + 1 ) ( x - 1 ) x - 1 = lim x → 1 + ⁡ x + 1 = 2

    Passo 3

    1. Vamos achar o limite

    lim x → 1 - ⁡ x 2 - 1 x - 1

    Analisando o limite pela direita, iremos trabalhar com valores infinitesimalmente menores que 1, sendo assim:

    x - 1 = - x + 1 para x < 1

    Então:

    lim x → 1 - ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ x 2 - 1 - x + 1 )

    Vamos fatorar o numerador:

    lim x → 1 - ⁡ x 2 - 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ ( x + 1 ) ( x - 1 ) - ( x - 1 )

    Podemos agora simplificar a expressão:

    lim x → 1 - ⁡ ( x + 1 ) ( x - 1 ) - ( x - 1 ) = lim x → 1 - - ( ⁡ x + 1 )

    Agora ficou fácil de resolver:

    lim x → 1 - ⁡ ( x + 1 ) ( x - 1 ) - ( x - 1 ) = lim x → 1 - - ( ⁡ x + 1 ) = - 2

    Passo 4

  3. O limite
  4. lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1

    não existe, pois, a gente comentou que para ele existe precisaríamos que os limites laterais existissem, mas como temos:

    lim x → 1 + ⁡ x 2 - 1 x - 1 ≠ lim x → 1 - ⁡ x 2 - 1 x - 1

    Ele não existe.

    Passo 5

  5. Vamos esboçar o gráfico de

F x = x 2 - 1 x - 1

Para fazer isso é necessário atribuir valores a x e ir encontrando seus valores associados. Aqui eu estarei utilizando o GeoGebra para isso, mas confira aí com o seu resultado:

Resposta

  1. i) lim x → 1 + ⁡ x 2 - 1 x - 1 = 2
  2. ii) lim x → 1 - ⁡ x 2 - 1 x - 1 = - 2

  3. lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 não existe

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