Enunciado

Calcule

∭ B x 2 + y 2 + z 2 d x   d y   d z

onde B é a interseção da semi-esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ,   z ≥ 0 com o cilindro x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 1

Como dito no enunciado, temos que o conjunto B é a interseção entre as duas superfícies vista a baixo.

O que precisamos fazer é inicialmente buscar formas melhores de descrever nosso conjunto. Desta forma, talvez fique mais fácil de resolver nosso problema.

Passo 2

Observando de lado nosso problema, temos

Onde fazemos x = ρ cos ⁡ θ   s e n ϕ , y = ρ   s e n   θ   s e n   ϕ e z = ρ cos ⁡ ϕ

Queremos saber onde nossas superfícies se interceptam. Assim analisando a imagem a cima, temos que ela ocorre em

x 2 + y 2 + z 2 = c i l i n d r o + z 2 = 1 + z 2 = 4 → z = 3

E pela nossa parametrização

cos ⁡ ϕ = 3 ρ = 3 2 → ϕ = π 6

Isso quer dizer que, seguindo a nossa parametrização, parte do nosso conjunto B passa a ser nosso novo sistema de coordenada com ρ = 0,2 , θ = [ 0,2 π ] e ϕ = [ 0 , π / 6 ] . A outra parte, se refere ao nosso cilindro. E segue que ele é determinado por ρ = 0,1 s e n   ϕ ,   θ = 0,2 π e ϕ = π 6 , π 2 .

e assim nossa integral se transforma em

∭ x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 6 ∫ 0 2 r 2 J   d r   d ϕ d θ + ∫ 0 2 π ∫ π / 6 π / 2 ∫ 0 1 / s e n   ϕ r 2 J   d r   d ϕ d θ

Onde J é o jacobiano em coordenada esféricas e vale r 2 s e n   ϕ

Assim ficamos com

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 6 ∫ 0 2 r 3 s e n   ϕ   d r   d ϕ   d θ +   ∫ 0 2 π ∫ π / 6 π / 2 ∫ 0 1 / s e n   ϕ r 3 s e n   ϕ   d r   d ϕ   d θ

Passo 3

Vamos resolver as integrais separadas? Assim fica mais fácil de não se percer.

A primeira podemos já resolver em θ e depois e m r , assim

2 π r 4 4 0 2 ∫ 0 π 6 s e n   ϕ   d ϕ = 8 π   - cos ⁡ ϕ 0 π 6 = 8 π cos ⁡ 0 - cos ⁡ π 6

= 8 π 1 - 3 2

Agora a segunda integral

Vamos fazer o mesmo, só que

2 π ∫ π / 6 π / 2 r 4 4 0 1 / s e n   ϕ s e n   ϕ   d ϕ = π 2 ∫ π / 6 π / 2 1 s e n 3 ϕ   d ϕ = π 2 ∫ π / 6 π / 2 c o s e c n ϕ   d ϕ

Vamos correr para nossa tabelas trigonométricas. Assim temos que

Que nos da

∫ c o s e c 3 ϕ   d ϕ = - 1 2   c o s e c   ϕ cot ⁡ ϕ + 1 2 ∫ c o s e c   ϕ   d ϕ

Que nos da

- π 2 - 1 2   c o s e c ϕ cot ⁡ ϕ + 1 2 ln ⁡ c o s e c   ϕ - cot ⁡ ϕ π / 6 π / 2

Que agora simplesmente aplicando as condições, temos

= - 4 3 π + 8 π + π 2 3 + 1 2 ln ⁡ 3 + 2

= - 7 3 2 π + 8 π + π 4 ln ⁡ 3 + 2

Resposta

- 7 3 2 π + 8 π + π 4 ln ⁡ 3 + 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Identifique a superfície com a equação dada.
Esboce o sólido descrito pelas inequações:
Escreva a equação em coordenadas esféricas.
Escreva a equação em coordenadas esféricas.
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule o valor da integral.