Calcule

∭ B x 2 + y 2 + z 2 d x   d y   d z

onde B é a interseção da semi-esfera x^2 + y^2 + z^2 <= 4, z >= 0 com o cilindro x^2 + y^2 <= 1

Passo 1

Fala galera! Beleza? Vamos resolver mais uma questãozinha!

Dessa vez o enunciad pede pra gente calcular a seguinte integral:

∭ B x 2 + y 2 + z 2 d x   d y   d z

Onde B é dado pela interseção da semi-esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ,   z ≥ 0 com o cilindro x 2 + y 2 ≤ 1 . Vamos analisar nosso problema esboçando o grafico do problema.

O que precisamos fazer é inicialmente buscar formas melhores de descrever nosso conjunto. Desta forma, talvez fique mais fácil de resolver nosso problema. Pra isso, vamos adotar coordenadas esféricas pra poder simplificar nosso problema. Sendo assim, teremos:

x = ρ   s e n ϕ   c o s θ

y = ρ   s e n ϕ   c o s θ

z = ρ   c o s ϕ

Alem disso, nosso elemento de volume também sofre uma pequena trasnformação:

d x   d y   d z = ρ 2   s e n ϕ   d r   d ϕ   d θ

O que buscamos agora é saber os limites de integração e substituir essas informações na nossa integral! Vamos nessa!

Passo 2

Observando de lado nosso problema, temos

Queremos saber onde nossas superfícies se interceptam. Assim analisando a imagem a cima, temos que ela ocorre em:

x 2 + y 2 + z 2 = c i l i n d r o + z 2

1 + z 2 = 4

z = 3

Além disso, temos que:

x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 = ρ

E pela nossa parametrização:

cos ⁡ ϕ = 3 ρ

c o s ϕ = 3 2

ϕ = π 6

Isso quer dizer que, seguindo a nossa parametrização, parte do nosso conjunto B passa a ser nosso novo sistema de coordenada com:

0 ≤ ρ ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ ϕ ≤ π 6

A outra parte, se refere ao nosso cilindro. E segue que ele é determinado por

0 ≤ ρ ≤ 1 s e n ϕ

0 ≤ θ ≤ 2 π

π 6 ≤ ϕ ≤ π 2

e assim nossa integral será dividida em duas somas, já que teremos duas regiões para integrar totalmente:

∫ 0 2 π ∫ 0 π 6 ∫ 0 2 ρ ⋅ ρ 2 s e n ϕ   d r   d ϕ d θ + ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 2 ∫ 0 1 s e n ϕ ρ ⋅ ρ 2 s e n ϕ   d r   d ϕ d θ

Assim ficamos com:

∫ 0 2 π ∫ 0 π 6 ∫ 0 2 ρ 3 s e n ϕ   d r   d ϕ   d θ +   ∫ 0 2 π ∫ π 6 π 2 ∫ 0 1 s e n ϕ ρ 3 s e n   ϕ   d r   d ϕ   d θ

Passo 3

Vamos resolver as integrais separadas? Assim fica mais fácil de não se percer.

A primeira podemos já resolver em θ e depois e m ρ , assim

2 π ρ 4 4 0 2 ⋅ ∫ 0 π 6 s e n   ϕ   d ϕ

Resolvendo essa integral, teremos:

8 π cos ⁡ 0 - cos ⁡ π 6

8 π 1 - 3 2

Agora a segunda integral. Vamos fazer o mesmo, só que:

2 π ∫ π 6 π 2 ρ 4 4 0 1 s e n ϕ s e n   ϕ   d ϕ = π 2 ∫ π 6 π 2 1 s e n 3 ϕ   d ϕ

Resolvendo a integral, temos:

π 2 ∫ π 6 π 2 c o s e c 3 ϕ   d ϕ

Vamos correr para nossa tabelas trigonométricas. Assim temos que

Que nos da:

∫ c o s e c 3 ϕ   d ϕ = - 1 2   c o s e c   ϕ cot ⁡ ϕ + 1 2 ∫ c o s e c   ϕ   d ϕ

Resolvendo, temos:

- π 2 - 1 2   c o s e c ϕ cot ⁡ ϕ + 1 2 ln ⁡ c o s e c   ϕ - cot ⁡ ϕ π 6 π 2  

Que agora simplesmente aplicando as condições, temos:

= - 4 3 π + 8 π + π 2 3 + 1 2 ln ⁡ 3 + 2

= - 7 3 2 π + 8 π + π 4 ln ⁡ 3 + 2

Resposta

∭ B x 2 + y 2 + z 2 d x   d y   d z = - 7 3 2 π + 8 π + π 4 ln ⁡ 3 + 2

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