Calcule.

lim x → p ⁡ x n - p n x - p     n > 0   n a t u r a l

Passo 1

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor p na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

lim x → p ⁡ x n - p n x - p = p n - p n p - p = 0 0

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, então vamo lá!!

Passo 2

No numerador temos um polinômio da seguinte forma x n - p n , então vamos destrinchar isso fatorando:

x n - p n = ( x n - 1 + x n - 2 ∙ p 1 + x n - 3 ∙ p 2 + ∙ ∙ ∙ + x 1 ∙ p n - 2 + p n - 1 ) ( x - p )

Substituindo no limite:

lim x → p ⁡ x n - p n x - p = lim x → p ⁡ ( x n - 1 + x n - 2 ∙ p 1 + x n - 3 ∙ p 2 + ∙ ∙ ∙ + x 1 ∙ p n - 2 + p n - 1 ) ( x - p ) x - p

Agora podemos simplificar, cortando o x - p

lim x → p ⁡ x n - 1 + x n - 2 ∙ p 1 + x n - 3 ∙ p 2 + ∙ ∙ ∙ + x 1 ∙ p n - 2 + p n - 1

Pronto! Vamos resolver o limite!

Passo 3

Agora é só substituir o valor p na expressão, e pronto, tudo resolvido.

lim x → p ⁡ x n - 1 + x n - 2 ∙ p 1 + x n - 3 ∙ p 2 + ∙ ∙ ∙ + x 1 ∙ p n - 2 + p n - 1 = p n - 1 + p n - 2 ∙ p 1 + p n - 3 ∙ p 2 + ∙ ∙ ∙ + p 1 ∙ p n - 2 + p n - 1

Ajeitando o polinômio,

= p n - 1 + p n - 1 + p n - 1 + ∙ ∙ ∙ + p n - 1 + p n - 1

Logo,

= n ∙ p n - 1

Resposta

lim x → p ⁡ x n - p n x - p = n ∙ p n - 1

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