Enunciado

Suponha que, para todo x , |g (x)| <= x^4 . Calcule underset(x -> 0)(lim) (g (x))/(x) .

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite de (g (x))/(x) quando x tende a 0 , sabendo que para todo x , temos |g (x)| <= x^4 .

Beleza, vamos dar uma olhadinha melhor nesse módulo:

|g (x)| <= x^4

Temos que g (x) no limite está dividido por x , vamos então manipular a expressão para chegar a isso, vamos dividir ela por x :

|g (x)| <= x^4 harr (|g (x)|)/(x) <= (x^4)/(x) harr (|g (x)|)/(x) <= x^3

Vamos agora colocar módulo em x e x^3 , pois essas expressões podem assumir valores negativos:

(|g (x)|)/(x) <= x^3 harr |(g (x))/(x)| <= |x^3|

Assumindo f (x) = 0 e h (x) = |x^3| , temos uma das condições do Teorema do Confronto:

0 <= |(g (x))/(x)| <= |x^3|

=> f ( x ) <= g ( x ) <= h ( x )

E Teorema do confronto nos diz que, quando essa condição é atendida, e o limite das extremidades são iguais, então o limite da função que tá no meio também é igual. Então, o que nós vamos fazer é calcular os limites de g (x) e h (x) , verificar se eles são iguais e teremos o limite de f ( x ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos calcular o primeiro limite, ele é simples, é só aplicar o valor:

underset(x -> 0)(lim) 0 = 0

Agora resolvendo o limite de h ( x ) , temos:

underset(x -> 0)(lim) |x^3| = |0^3|

= 0

Passo 3

Então, descobrimos que ambos os limites são iguais a 0 :

underset(x -> 0)(lim) 0 = underset(x -> 0)(lim) |x^3| = 0

E pelo Teorema do Confronto podemos concluir que:

underset(x -> 0)(lim) |(g (x))/(x)| = 0

Como underset(x -> 0)(lim) |(g (x))/(x)| é igual a zero, temos que também underset(x -> 0)(lim) (g (x))/(x) é igual a zero.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (g (x))/(x) = 0

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Empregue o Teorema do Confronto para mostrar que lim x → 0 ⁡ x 3 + x ² sen ⁡ π x = 0 ² Ilustre, fazendo os gráficos, na mesma tela, das funções f , g e h (como no Teorema do Confronto).
Sef (x) = {[[x^2 s e x é r a c i o n a l],[0 s e x é i r r a c i o n a l]]) é é demonstre que underset(x - 0)(lim) f ( x ) = 0 .
Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê. lim x → 2 ⁡ x - 2 x - 2
Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê. lim x → - 4 - ⁡ x + 4 x + 4
Prove: lim x → p ⁡ f x = L ⇒ lim x → p ⁡ f x = L (Sugestão: verifique que f x - L ≤ f x - L e aplique o teorema do confronto.)