Enunciado

Calcule.

underset(x -> 7)(lim) (sqrt(x) - sqrt(7))/(sqrt(x + 7) - sqrt(14))

Passo 1

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor 7 na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

(0)/(0)

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, então vamo lá!!

Passo 2

Como temos duas raízes no denominador, vamos tentar multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado do denominador, que seria a expressão (sqrt(x + 7) - sqrt(14)) :

underset(x -> 7)(lim) (sqrt(x) - sqrt(7))/(sqrt(x + 7) - sqrt(14)) = underset(x -> 7)(lim) ((sqrt(x) - sqrt(7)))/((sqrt(x + 7) - sqrt(14))) * ((sqrt(x + 7) + sqrt(14)))/((sqrt(x + 7) + sqrt(14)))

Vamos agora simplificar a expressão:

underset(x -> 7)(lim) ((sqrt(x) - sqrt(7)))/((sqrt(x + 7) - sqrt(14))) * ((sqrt(x + 7) + sqrt(14)))/((sqrt(x + 7) + sqrt(14))) = underset(x -> 7)(lim) ((sqrt(x) - sqrt(7)) (sqrt(x + 7) + sqrt(14)))/((sqrt(x + 7))^2 + (sqrt(x + 7) * sqrt(14)) - (sqrt(14) * sqrt(x + 7)) - (sqrt(14))^2) = underset(x -> 7)(lim) ((sqrt(x) - sqrt(7)) (sqrt(x + 7) + sqrt(14)))/(x + 7 - 14) = underset(x -> 7)(lim) ((sqrt(x) - sqrt(7)) (sqrt(x + 7) + sqrt(14)))/(x - 7)

Passo 3

Vamos agora multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado de sqrt(x) - sqrt(7) , que seria a expressão (sqrt(x) + sqrt(7)) :

underset(x -> 7)(lim) ((sqrt(x) - sqrt(7)) (sqrt(x + 7) + sqrt(14)))/(x - 7) = underset(x -> 7)(lim) ((sqrt(x) - sqrt(7)) (sqrt(x + 7) + sqrt(14)))/(x - 7) * ((sqrt(x) + sqrt(7)))/((sqrt(x) + sqrt(7)))

Simplificando agora a expressão:

underset(x -> 7)(lim) (((sqrt(x))^2 + sqrt(7 x) - sqrt(7 x) - (sqrt(7))^2) (sqrt(x + 7) + sqrt(14)))/((x - 7) (sqrt(x) + sqrt(7))) = underset(x -> 7)(lim) ((x - 7) (sqrt(x + 7) + sqrt(14)))/((x - 7) (sqrt(x) + sqrt(7))) = underset(x -> 7)(lim) (sqrt(x + 7) + sqrt(14))/(sqrt(x) + sqrt(7))

Pronto, temos o limite:

underset(x -> 7)(lim) (sqrt(x) - sqrt(7))/(sqrt(x + 7) - sqrt(14)) = underset(x -> 7)(lim) (sqrt(x + 7) + sqrt(14))/(sqrt(x) + sqrt(7))

Passo 4

Agora é só substituir o valor 7 na expressão, e pronto, tudo resolvido:

underset(x -> 7)(lim) (sqrt(x + 7) + sqrt(14))/(sqrt(x) + sqrt(7)) = (sqrt(7 + 7) + sqrt(14))/(sqrt(7) + sqrt(7)) = (sqrt(14) + sqrt(14))/(2 sqrt(7)) = (2 sqrt(14))/(2 sqrt(7)) = (sqrt(14))/(sqrt(7)) = sqrt((14)/(7)) = sqrt(2)

Resposta

underset(x -> 7)(lim) (sqrt(x) - sqrt(7))/(sqrt(x + 7) - sqrt(14)) = sqrt(2)

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