Enunciado

Calcule.

underset(x -> p)(lim) (x^3 - p^3)/(x - p)

Passo 1

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor p na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

(0)/(0)

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, então vamo lá!!

Passo 2

No numerador temos um polinômio do terceiro grau, da seguinte forma a^3 - b ³ , então podemos usar a seguinte fórmula:

a^3 - b^3 = ( a^2 + a . b + b^2 ) ( a - b )

Assim temos a = x e b = p :

x^3 - p^3 = (x^2 + x . p + p^2) (x - p) = (x^2 + x p + p^2) (x - p)

Resultando no limite:

underset(x -> p)(lim) (x^3 - p^3)/(x - p) = underset(x -> p)(lim) ((x^2 + x p + p^2) (x - p))/(x - p)

Passo 3

Podemos simplificar eliminando a expressão x - p que aparece tanto no numerador quanto no denominador, então vamos lá:

underset(x -> p)(lim) ((x^2 + x p + p^2) (x - p))/(x - p) = underset(x -> p)(lim) x^2 + x p + p^2

Agora é só substituir o valor p na expressão, e pronto, tudo resolvido.

underset(x -> p)(lim) x^2 + x p + p^2 = p^2 + p * p + p^2 = p^2 + p^2 + p^2 = 3 p^2

Resposta

underset(x -> p)(lim) (x^3 - p^3)/(x - p) = 3 p^2

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