Calcule.

lim x → p ⁡ x 4 - p 4 x - p p ≠ 0

Passo 1

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor p na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a indeterminação

0 0

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, então vamos lá!!

Passo 2

No denominador, podemos fazer a seguinte manipulação, pegando cada elemento do denominador e tirando a raiz quarta e elevando a quarta:

x - p = x 4 4 - p 4 4

Fizemos isso porque agora podemos usar a seguinte fórmula, pois temos essa expressão desse formato:

a 4 - b 4 = a 2 + b 2 a - b a + b

Assim temos a = x 4 e b = p 4 :

x - p = x 4 4 - p 4 4 = x 4 2 + p 4 2 x 4 - p 4 x 4 + p 4 = x 2 4 + p 2 4 x 4 - p 4 x 4 + p 4

Vamos substituir no limite:

lim x → p ⁡ x 4 - p 4 x - p = lim x → p ⁡ x 4 - p 4 x 2 4 + p 2 4 x 4 - p 4 x 4 + p 4 = lim x → p ⁡ 1 x 2 4 + p 2 4 x 4 + p 4

Passo 3

Agora é só substituir o valor p na expressão, e pronto, tudo resolvido:

lim x → p ⁡ 1 x 2 4 + p 2 4 x 4 + p 4 = 1 p 2 4 + p 2 4 p 4 + p 4 = 1 2 p 2 4 2 p 4 = 1 4 p 3 4

Resposta

lim x → p ⁡ x 4 - p 4 x - p = 1 4 p 3 4

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