Calcule.

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 4 + 3 x - 4

Passo 1

Para resolver esse limite podemos pensar em apenas substituindo o valor 1 na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

0 0

Devemos olhar se existe alguma forma de simplificar essa expressão, para evitar essa indeterminação, então vamo lá!

Passo 2

Vamos analisar o limite:

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 4 + 3 x - 4

No numerador temos um polinômio do terceiro grau, da seguinte forma a 3 - b ³ , então podemos usar a seguinte fórmula:

a 3 - b 3 = ( a 2 + a . b + b 2 ) ( a - b )

Assim temos a = x e b = 1 :

x 3 - 1 3 = x 2 + x . 1 + 1 2 x - 1 = ( x 2 + x + 1 ) ( x - 1 )

Passo 3

Para o denominador temos x 4 + 3 x - 4 , vamos tentar achar raízes, vamos usar o valor 1 :

x 4 + 3 x - 4 = 1 4 + 3 ∙ 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0

Dividindo x 4 + 3 x - 4 por x - 1 :

Vamos ter que:

x 4 + 3 x - 4   = x - 1 x 3 + x 2 + x + 4

Passo 4

Pronto, agora é só substituir no limite:

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 4 + 3 x - 4 = lim x → 1 ⁡ ( x 2 + x + 1 ) ( x - 1 ) x - 1 x 3 + x 2 + x + 4 = lim x → 1 ⁡ x 2 + x + 1 x 3 + x 2 + x + 4

Agora é só necessário substituir o valor 1 na expressão, e achamos a resposta!!

lim x → 1 ⁡ x 2 + x + 1 x 3 + x 2 + x + 4 =   1 2 + 1 + 1 1 3 + 1 2 + 1 + 4 = 3 7

Resposta

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 4 + 3 x - 4 =   3 7

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