Enunciado

Calcule.

underset(x -> 1)(lim) (x^3 - 1)/(x^4 + 3 x - 4)

Passo 1

Para resolver esse limite podemos pensar em apenas substituindo o valor 1 na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

(0)/(0)

Devemos olhar se existe alguma forma de simplificar essa expressão, para evitar essa indeterminação, então vamo lá!

Passo 2

Vamos analisar o limite:

underset(x -> 1)(lim) (x^3 - 1)/(x^4 + 3 x - 4)

No numerador temos um polinômio do terceiro grau, da seguinte forma a^3 - b ³ , então podemos usar a seguinte fórmula:

a^3 - b^3 = ( a^2 + a . b + b^2 ) ( a - b )

Assim temos a = x e b = 1 :

x^3 - 1^3 = (x^2 + x . 1 + 1^2) (x - 1) = ( x^2 + x + 1 ) ( x - 1 )

Passo 3

Para o denominador temos x^4 + 3 x - 4 , vamos tentar achar raízes, vamos usar o valor 1 :

x^4 + 3 x - 4 = 1^4 + 3 * 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0

Dividindo x^4 + 3 x - 4 por x - 1 :

Vamos ter que:

x^4 + 3 x - 4 = (x - 1) (x^3 + x^2 + x + 4)

Passo 4

Pronto, agora é só substituir no limite:

underset(x -> 1)(lim) (x^3 - 1)/(x^4 + 3 x - 4) = underset(x -> 1)(lim) (( x^2 + x + 1 ) ( x - 1 ))/((x - 1) (x^3 + x^2 + x + 4)) = underset(x -> 1)(lim) (x^2 + x + 1)/(x^3 + x^2 + x + 4)

Agora é só necessário substituir o valor 1 na expressão, e achamos a resposta!!

underset(x -> 1)(lim) (x^2 + x + 1)/(x^3 + x^2 + x + 4) = (1^2 + 1 + 1)/(1^3 + 1^2 + 1 + 4) = (3)/(7)

Resposta

underset(x -> 1)(lim) (x^3 - 1)/(x^4 + 3 x - 4) = (3)/(7)

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