Calcule.

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 3 x + 1

Passo 1

Vamos analisar esse limite, geralmente devemos fazer manipulações para ficar com expressões do tipo 1 x n que tendem a zero para x → + ∞ , pois assim fica simples de resolver o limite.

Vamos colocar em evidência a mais alta potência de x que ocorre tanto no numerador quanto no denominador:

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 3 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x x 2 1 + 3 x + 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 1 + 3 x + 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x ∙ 1 1 + 3 x + 1 x 2

Temos que podemos usar a propriedade da multiplicação, da divisão e da soma nesse limite:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x ∙ 1 1 + 3 x + 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + 3 x + 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 lim x → + ∞ ⁡ 1 + 3 x + 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 3 x + lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2

Vamos resolver eles separadamente.

Passo 2

Para o primeiro limite temos 1 x que tende a zero para x → + ∞ , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero 1 x vai está:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x = 0

Vamos agora para o segundo, calculando os do numerador:

Temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

lim x → p ⁡ k = k

lim x → + ∞ ⁡ 1 = 1

Passo 3

Agora no denominador:

No primeiro temos também o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

lim x → p ⁡ k = k

lim x → + ∞ ⁡ 1 = 1

Já no segundo limite podemos usar a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com 1 x que também tende a zero para x → + ∞ :

lim x → p ⁡ k f x = k lim x → p ⁡ f x

lim x → + ∞ ⁡ 3 x = 3 ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 x = 3 ∙ 0 = 0

Por último, no terceiro limite temos 1 x 2 que tende a zero para x → + ∞ , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero 1 x 2 vai está:

lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 = 0

Passo 4

Por último é só juntar os resultados e pronto:

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 3 x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 1 x ∙ lim x → + ∞ ⁡ 1 lim x → + ∞ ⁡ 1 + lim x → + ∞ ⁡ 3 x + lim x → + ∞ ⁡ 1 x 2 = 0 ∙ 1 1 + 0 + 0 = 0 ∙ 1 = 0

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 + 3 x + 1 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados