Enunciado

Calcule.

underset(x -> + oo)(lim) (x)/(x^2 + 3 x + 1)

Passo 1

Vamos analisar esse limite, geralmente devemos fazer manipulações para ficar com expressões do tipo (1)/(x^n) que tendem a zero para x -> + oo , pois assim fica simples de resolver o limite.

Vamos colocar em evidência a mais alta potência de x que ocorre tanto no numerador quanto no denominador:

underset(x -> + oo)(lim) (x)/(x^2 + 3 x + 1) = underset(x -> + oo)(lim) (x)/(x^2 (1 + (3)/(x) + (1)/(x^2))) = underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x (1 + (3)/(x) + (1)/(x^2))) = underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) * (1)/((1 + (3)/(x) + (1)/(x^2)))

Temos que podemos usar a propriedade da multiplicação, da divisão e da soma nesse limite:

underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) * (1)/((1 + (3)/(x) + (1)/(x^2))) = underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) * underset(x -> + oo)(lim) (1)/((1 + (3)/(x) + (1)/(x^2))) = underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) * (underset(x -> + oo)(lim) 1)/(underset(x -> + oo)(lim) 1 + (3)/(x) + (1)/(x^2)) = underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) * (underset(x -> + oo)(lim) 1)/(underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (3)/(x) + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^2))

Vamos resolver eles separadamente.

Passo 2

Para o primeiro limite temos (1)/(x) que tende a zero para x -> + oo , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero (1)/(x) vai está:

underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) = 0

Vamos agora para o segundo, calculando os do numerador:

Temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

underset(x -> p)(lim) k = k

underset(x -> + oo)(lim) 1 = 1

Passo 3

Agora no denominador:

No primeiro temos também o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

underset(x -> p)(lim) k = k

underset(x -> + oo)(lim) 1 = 1

Já no segundo limite podemos usar a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com (1)/(x) que também tende a zero para x -> + oo :

underset(x -> p)(lim) k f (x) = k (underset(x -> p)(lim) f (x))

underset(x -> + oo)(lim) (3)/(x) = 3 * underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) = 3 * 0 = 0

Por último, no terceiro limite temos (1)/(x^2) que tende a zero para x -> + oo , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero (1)/(x^2) vai está:

underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^2) = 0

Passo 4

Por último é só juntar os resultados e pronto:

underset(x -> + oo)(lim) (x)/(x^2 + 3 x + 1) = underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) * (underset(x -> + oo)(lim) 1)/(underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (3)/(x) + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^2)) = 0 * (1)/(1 + 0 + 0) = 0 * 1 = 0

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) (x)/(x^2 + 3 x + 1) = 0

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